Wendepunkte berechnen am Beispiel f(x) = x^5?

Question

Ich bin Schülerin an einem Gymnasium 8. Klasse und eigne mir seber den Oberstufenstoff in Mathe an..

jetzt habe ich mal eine Frage zu den Wendepunkten:

Angenommen ich habe diese Funktin f(x) = x^5

f´´(x) = 60x^2 => 0

f´´´(x) = 120 x => f´´´(0) = 0

Also wäre doch die dritte Ableitung gleich 0 und somit kein Wendepunkt ?

Sorry, für die vielleicht dumme Frage..

LG Jasmin

Answer 1

nein.  du hast wahrscheinlich gelesen
f ' ' (x) = 0  und f ' ' ' (x) unglich 0

hat zur Folge: Wendepunkt bei x.

Das stimmt auch, ist aber nur ein hinreichendes

und kein notwendiges Kriterium.

also bei   f ' ' (x) = 0  und f ' ' ' (x) = 0

kann ein Wendepunkt, muss aber nict, bei x vorliegen.

Etwas günstigeres Kriterium ist da

Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.

Bei deinem Beispiel bist du auch mit den Ableitungen

durcheinander gekommen:

f ' (x) = 5x^4  also f ' ' (x) = 20x^3 und f ' ' (x) = 60 x^2

und hier hat die zweite Ableitung bei x=0

einen Vorzeichenwechsel, denn für x<o ist f ' ' (x) < 0

und für x > 0 ist f ' ' (x) > 0

Also Wendepunkt ( von rechts- auf linksgekrümmt ) bei x=0.

Answer 2

Du darfst nicht so argumentieren.

Angenommen ich habe diese Funktin f(x) = x⁵

f´´(x) = 60x² => 0

f´´´(x) = 120 x => f´´´(0) = 0 . Das heisst nur, dass du nicht sicher bist, ob x=0 eine Wendestelle ist.

Entscheidend für Wendestelle ist, ob die Krümmung f '' (x) bei x=0 das Vorzeichen ändert.

Du hast übrigens auch falsch abgeleitet. 

Richtige Ableitungen der Funktion f(x) = x⁵

f '(x) = 5x^4

f ''(x) = 20x^3

f ' ´´(x) = 60x² => 0

Nun wechselt f ''(x) = 20x^3 bei x = 0 (wegen dem ungeraden Exponenten von x) tatsächlich das Vorzeichen und W(0|0) ist ein Wendepunkt von f(x) = x^5.