Optimierung mit der Scheitelpunktform

Question

Bei 200 Besucher kann man 8 € verlangen, bei 220 Besucher kann man 7,50 € verlangen,bei 240 Besucher kann man 7 € verlangen, usw....

Wo liegt das Optimum der Einnahmen?

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Ich dachte es handelt sich hier um eine quadratische Funktion - Parabel.

Bin zeichnerisch auf die gleiche Lösung gekommen - wußte nur nicht wie ich das auch rechnerisch in den Griff bekommen kann.

Vielen Dank für die ausführliche Darstellung. Hat mir dann doch sehr geholfen.

Gruss Wolfgang

Answer 1

Bei 200 Besucher kann man 8 € verlangen, bei 220 Besucher kann man 7,50 € verlangen,bei 240 Besucher kann man 7 € verlangen, usw....

Wo liegt das Optimum der Einnahmen?

p(x) = (7.5 - 8)/(220 - 200)·(x - 200) + 8 = 13 - 0.025·x

E(x) = p(x)·x = (13 - 0.025·x)·x = - 0.025·x^2 + 13·x
E(x) = - 0.025·(x^2 - 520·x)
E(x) = - 0.025·(x^2 - 520·x + 260^2 - 260^2)
E(x) = - 0.025·(x - 260)^2 + 1690

Das Optimum liegt bei 260 Besuchern, die Dann einnahmen von 1690 € ergeben.

Answer 2

Bei 200 Besucher kann man 8 € verlangen, bei 220 Besucher kann
man 7,50 € verlangen,bei 240 Besucher kann man 7 € verlangen, usw....

Wo liegt das Optimum der Einnahmen?

Die Preisfunktion : Gerade
( 200 | 8 )
( 240 | 7 )
y = m * x + b
m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 8 - 7 ) / ( 200 - 240 )
m = - 1/ 40 = 0.025
8 = - 0.025 * 200 + b
b = 13
p ( x ) = - 0.025 * x + 13
Probe
7 = -0.025 * 240 + 13 =  7

Einnahmen ( x ) = p ( x ) * x
Einnahmen ( x ) = ( -0.025 * x + 13 ) * x
Einnahmen ( x ) = -0.025 * x^2 + 13 * x
[ Einnahmen ( x ) ] ´ = -0.05 * x + 13

-0.05 * x + 13= 0
-0.05 * x = -13
x = 260

Comments

Ich sehe gerade die Lösung sollte unter Verwendung der
Scheitelpunktform gefunden werden. Ich habe die Diff-Rechnung
verwendet. Schaffst du die Scheitelpunktform allein ?