Beweisen Fixpunkt einer stetigen Funktion

Question

Ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht zurecht :(

Bei den Fixpunkten einer Selbstabbildung f:D→D kann man durch das Iterationsverfahren t∈D mit der Eigentschaft t=f(t) berechnen.Zeige dazu,dass eine stetige Funktion

f:[0,1]→R mit f([0,1]) Teilmenge von [0,1] einen Fixpunkt t=f(t)∈[0,1] besitzt.

Selbstabbildung sagt mir was und zwar,ein einfaches Beispiel dazu wäre die identische Funktion,bei der man ein Element und mit seinem Bildelement direkt miteinander vergleichen kann.Allerdings bin mir nicht sicher ob alle identische Funktionen auch bijektiv sind.Vielleicht könnte ich diesen Lösungsweg verwenden aber ich bin mir nicht ganz sicher wie ich anfangen und weitermachen kann,da die Intervalle mich verwirren.Ich gehe davon aus,dass die Werte einfach zwischen 0 und 1 liegen.Und könnte ich vielleicht g(t)=f(t)-t und den Zwischenwertsatz verwenden.Ich verstehe leider auch nicth warum man f(0) => 0 und f(1) <= 0 so schreibt.

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :-)

Answer 1

Hi,
richtig ist der Ansatz \( g(t) = f(t) - t \) und dann den Zwischenwertsatz auf \( g(t) \) anwenden. Es gilt
$$ g(0) = f(0) \ge 0  $$ und $$ g(1) = f(1) - 1 \le 0  $$ Ist
$$ g(0) = 0  $$ folgt \( f(0) = 0 \) also hat man eine Fixpunkt. Das gleiche folgt für \( t = 1 \), also kann man davon ausgehen, dass gilt $$ g(0) > 0  $$ und $$ g(1) < 0  $$ Jetzt folgt aber aus dem Zwischenwertsatz, das es ein \( \xi \in (0,1) \) gibt, mit \( g(\xi) = 0 \Leftrightarrow f(\xi) = \xi   \)

Comments

vielen Dank für die Antwort,

Aber was mir nicht klar ist,warum wir g(1)=f(1)-1 annehmen,während g(0)=0 ist?
Ich habe mir ein übliches Beispiel angeschaut und da ist ja das Intervall immer [a,b] also beliebige Werte.
Meine Frage ist,was für einen Unterscheid das Intervall [0,1] bei diesem Beispiel macht?Wie würde die Lösung aussehen,wenn wir zB [2,3] hätten ?

Und was für eine Rolle bei diesem Beispiel hat die Selbstabbildung ?

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Und ich habe das Iterationsverfahren vergessen :) Wie verwendet man bei diesem Beispiel das Iterationsverfahren?