3 Gleichungssysteme lösen mit 3 Wurzel

Question

ich habe hier vor mir eine Gleichung vorliegen die wie folgt aussieht

I   :  √(4x) + 22√ (y)        √(4z) = 8

2 : √ x      - √ y            + √ z   = 6

3 : √ x      - √ y             - √ z    = -8

Wie löse ich diese Aufgabe am besten  ?

Comments

Vielleicht per Substitution: \(a:=\sqrt x,b:=\sqrt y,c:=\sqrt z\).
Es fehlt noch ein Rechenzeichen in Gleichung I.

---

Das mit Substitution ist mir auch durch den kopf gegangen.

Ich muss doch deine Aussage quadrieren damit da z steht

oder

"

x√,b:=y√,c:=z√.  "

√z = x

Answer 1

I   :  √(4x) + 22√ (y)   +     √(4z) = 8

2 : √ x      - √ y            + √ z   = 6

3 : √ x      - √ y             - √ z    = -8

mit dem Tipp und dem fehlenden + hast du

I   :  2a + 22b +    2c = 8

2 : a      - b           + c   = 6

3 : a     - b           - c  = -8

Das löst du und rechnest mit

a=wurzel(x) dann das x aus etc.

Answer 2

√(4·x) + 22·√y - √(4·z) = 8
√x - √y + √z = 6
√x - √y - √z = -8

Substituiere: a = √x ; b = √y ; c = √z

2·a + 22·b - 2·c = 8
a - b + c = 6
a - b - c = -8

Ich löse das LGS und erhalte: a = 0 ∧ b = 1 ∧ c = 7

Resubstituieren und x, y und z bestimmen.

x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 49

Comments

hey super erklärt danke erstmal.

das so genannte Resubsituieren könntest du das vielleicht näher erklären ? die ausgerechneten werte setze ich in die erste Gleichung

---

a = 0 ∧ b = 1 ∧ c = 7

Wir hatten substituiert mit a = √x ; b = √y ; c = √z

Also setzt du das wieder für a, b und c ein

√x = 0 ∧ √y = 1 ∧ √z = 7

Um das nach x, y und z aufzulösen brauchst du nur noch quadrieren.

x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 49

---

Resubstituieren und x, y und z bestimmen.

a = 0 ∧ b = 1 ∧ c = 7

also einsetzen in  a = √x ; b = √y ; c = √z

0 = √x ; 1 = √y ; 7 = √z

damit

x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 49

---

Sry aber ich komme nicht weiter. Habe einen Denkfehler.
I : √(4*0)  +    22*√(1)   - √ (4*7) = 8   
wenn ich das so in meinen Rechner eintippe kommt da 16,70 raus daszu quadrieren wäre doch unsinnig ?

---

√(4*0)  +    22*√(1)   - √ (4*49) = 8   

Das z ist doch 49.

---

super jetzt habe ich auch verstanden wieso man quadrieren muss. super danke euch beiden :))

Answer 3

Vergiss mal die Substitution, sie ist hier weder notwendig noch sinnvoll und macht nur unnötig viel Arbeit!  Vereinfache zunächst die erste Gleichung (das fehlende Rechenzeichen habe ich als  Minus angenommen, da es sonst keine Lösungen gibt) und du erhältst
$$ \sqrt{x} + 11\cdot\sqrt{y} - \sqrt{z} = 4 \\ \sqrt{x} \quad\,\,\,\,\,-\sqrt{y} + \sqrt{z} = 6 \\ \sqrt{x}  \quad\,\,\,\,\,-\sqrt{y} - \sqrt{z} = -8 $$Subtrahierst Du nun die dritte Gleichung von den beiden ersten, ergibt sich sofort \(\sqrt{y}=1\) und \(\sqrt{z}=7\). Dies wieder eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt \(\sqrt{x}=0\). Zum Schluss muss noch quadriert werden und das System ist gelöst!