Warum hat dieser Term zwei Lösungen? x^4 = (x - c)^2

Question

Angenommen wir haben x⁴ = (x - c)² . Wenn man auf beiden seiten die 2. wurzel zieht kriegt man einmal x² = x - c und x² = c - x.

Die erste Lösung ist offensichtlich, aber wie kann man bei der zweiten Lösung erklären, dass sich die Vorzeichen von c und x umdrehen?

Answer 1

Du kannst die zweite Lösung genausogut schreiben als:

 

x² = (-1)*(x-c)

Wenn du jetzt beide Seiten der Gleichung quadrierst, ergibt sich:

x⁴ = (-1)²*(x-c)²

(-1)*(-1) = 1, also ist das die Ursprungsgleichung.

Answer 2

Julian hat natürlich deine Frage beantwortet. Ich möchte folgendes ergänzen:

Mit 'Lösung' ist normalerweise ein Wert oder eine Formel für x gemeint. 

Du sprichst hier vom Lösungsschritt 'links und rechts die Wurzel ziehen', der keine Äquivalenzumformung ist. 

Man kann damit Lösungen verlieren.

Beispiel , das du kennst:

x² = 9             |√                                                       direkt rechts ±√ hinschreiben

x₁ = 3,

hat eine zusätzliche Lösung (die eigentlich verloren wurde) x₂ = -3

Das machst du bestimmt immer so und schreibst automatisch ±√9 hin. 

Ähnlich kommt man ja auch auf die Formel zum 2 Lösen von quadratischen Gleichungen.

Beim fraglichen Lösungsschritt                        

x⁴ = (x - c)²                            |√

x² = ±√(x-c)²                   zwingt dann hier zu einer Fallunterscheidung.

x² = (x-c)                    und               x² = - (x-c)   = c - x

Wenn du jetzt x tatsächlich noch berechnen musst, löst du am besten die beiden quadratischen Gleichungen separat auf.

Da am Schluss der Parameter c in einem Term unter einer Wurzel stehen wird, kannst du dann immer noch separat entscheiden für welche Werte von c eine, 2, oder keine Lösung vorliegen.

Dann kannst du zusammenfassen, für welche Werte des Parameters c wieviele und welche Lösungen vorliegen. 

 

Answer 3

Dieser Term ist eine Gleichung  mit max 4 Lösungen..

x⁴=(x-c)²        | wurzel ziehen

x²=±(x-c)       dies ist nur der Zwischenschriit zur eigentlichen Lösung.

⇒x²=x-c

⇒0=x²-x+c

x₁₂ =1/2±√1/4-c       x₁=1/2+√1/4-c     x₂=1/2-√1/4-c          c <1/4   sonst keine Lösung, da der Wert unter der Wurzel dann negativ

⇒x²=c-x

⇒0=x²+x-c

x_2,4=1/2±√1/2+c      x₃=1/2+1/2√c      x₄=1/2-1/2√c          c>0

Die Einschränkung für c          { 1/4>c>0   }