Geschlossene Darstellung für zwei Funktionen

Question

ich soll eine geschlossene Darstellung für f(x) und für f^II(x)

Die Ableitungen habe ich berechnet aber wie das mit der geschlossenen Form funktioniert verstehe ich nicht.

Answer 1

Bei \(f''\) handelt es sich um eine geometrische Reihe.$$f''(x)=\sum_{k=3}^\infty(-1)^kx^{2k-2}=1-x^2-\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{2k}$$Summenformel anwenden$$f''(x)=1-x^2-\frac1{1+x^2}.$$Nun zweimal integrieren. Meinen Berechnungen zufolge ist$$f'(x)=-\frac13x^3+x-\arctan(x)+1$$$$f(x)=-\frac1{12}x^4+\frac12x^2+x-x\arctan(x)+\frac12\log(1+x^2).$$

Comments

das problem an deiner ersten gleichung ist das diese potenz -2 ein 1/(x²) ist da steht insgesamt

∑  ( (-1)^k * x^2k ) / (x²)

und wie kommst du bei der summe von k=3 auf die summe die von k=0 anfängt zu zählen ?