Aus R-linearer Abbildung f(x,y) allgemein bestimmen

Question

Es sei f: R² -> R³ eine R-lineare Abbildung mit

f(2,2) = (4,0,1)

f(1,2)  = (2,1,1)

Bestimmen Sie allgemein f(x,y).

Wie muss man da bitte vorgehen?

Answer 1

erst mal (x,y) durch (2,2) und (1,2) darstellen
x = 2a+b
y=2a+2b    gibt  b= y-x    und    a = x - y/2
dann gilt

a(2,2) + b(1,2)  =  (x-y/2)*(2,2)  +  (y-x) * (1,2) =  (x,y)

also f(x,y) = f (    (x-y/2)*(2,2)  +  (y-x) * (1,2) )  wegen "linear" also
                 =   (x-y/2)*f(2,2)  +  (y-x) * f(1,2)
                 =   (x-y/2)*(4,0,1)   +  (y-x) * (2,1,1)

und das noch zusammenrechnen gibt
  = ( 4x-2y+2y-2x   ,  0 + y - x   ,   x - y/2  + y - x )
 =  ( 2x    ,   y-x   ,  y/2  )

Comments

Habs verstanden.