Gebrochene Rationale Funktion

Question

Gegeben ist f(x)= (x-3)(x+2)(x-1)
                                   (x+3)(x+2)

Wie berechne ich damit die Asymptote??

Answer 1

~plot~ ( x - 3 ) * ( x + 2 ) * ( x -1 ) / ( ( x+ 3 ) * ( x+2) ) ; x - 7 ; x = -3 ;  [[ -50 | 50 | -50 | 50 ]] ~plot~

Comments

Können Sie mir erklären wie man das rechnet bzw. wie man auf das ergebnis kommt??

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Du überführst deinen Bruch durch Polynomdivision ( Zähler geteilt durch
Nenner ) in die Form  f ( x ) = x - 7 + 24 / ( x + 3 )
( siehe Antwort jf116. Bei Bedarf kann ich die Polynomdivision gern vorführen ).

Jetzt interessiert : was passiert wenn x gegen minus unendlich oder plus unendlich
geht.
f ( x ) = x - 7 + 24 / ( x + 3 )
f ( x ) = x - 7 + 24 / ( ∞ + 3 )

24 / ( ∞ + 3 ) = 0

Dasselbe gilt auch für minus unendlich.

Je mehr x gegen minus oder plus endlich geht gilt
f ( x ) = x - 7 + 24 / ( x + 3 )
vekürzt sich zu
f ( x ) = x - 7 + 0
f ( x ) = x - 7

Dies ist der Funktionsterm der Asymptote ( Angleichungsgerade )
In der Skizze :
blau ist die Orginalfunktion
rot ist die Asymptote

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Kannst du mir die Polynomdivision vorführen Bitte?
Wie löse ich da die Klammern auf...?
Ich kann zwar die Polynimdivision aber die Klammern verwirren mich..

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Führe ich gleich vor.
Hinweis
Du kannst erst einmal kürzen ( x + 2).
und dann den Zähler ausmultiplizieren.

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Hier die Polynomdivision

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Vielen Dank
jetzt hab ich es gecheckt :)

Answer 2

f(x) = (x - 3)·(x + 2)·(x - 1)/((x + 3)·(x + 2))

stetig ergänzt

g(x) = (x - 3)·(x - 1) / (x + 3) = (x^2 - 4·x + 3) / (x + 3) = x - 7 + 24 / (x + 3)

Schiefe Asymptote y = x - 7

Answer 3

Es ist sinnvoll, zunächst den Definitionsbereich anzugeben. Denkbar wäre
$$ f(x) = \frac { (x-3)(x+2)(x-1) }{ (x+3)(x+2) } \quad\text{mit}\quad x\in\mathbb{ R }\setminus\left\{-3,-2\right\} $$falls keine weiteren Einschränkungen vorliegen.

Nach dem Kürzen gemeinsamer Faktoren aus Zähler und Nenner, dem Ausmultipizieren des gekürzten Zählers und einer anschließenden Division des Zählerpolynoms durch das Nennerpolynom mit Rest ergeben sich folgende Vereinfachungen des Funktionsterms:
$$ f(x) = \frac { (x-3)(x-1) }{ x+3 }  = \frac { x^2-4x+3 }{ x+3 } = x - 7 +\frac { 24 }{ x+3 } $$Die Asymptote ist der ganzrationale Anteil in der letztgenannten Darstellung.