Potenzreihendarstellung einer Funktion

Question

  b) Leiten Sie für \( |x|<\frac{1}{2} \) eine Potenzreihendarstellung der Funktionen
$$ f(x)=\ln (1+2 x) \quad \text { und } \quad g(x)=\frac{1}{(1+2 x)^{2}} $$
her, indem Sie die folgende Reihe differenzieren bzw. integrieren:

\( \frac{1}{1+2 x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 2^{n} x^{n} \)

Brauch mal Hilfe bei folgender Aufgabe. Hab keine Ahnung wie ich genau ansätzen soll. ( in unsere Präsenzübung die etwas anders aber  vom prinzip her ähnlich war  mussten wir die gegebene Funktion f(x) einfach einmal ableiten  die geometrische reihe anwenden und das ganze wieder integrieren). Hier jedoch weiß ich nicht wie ich ansätzen soll. Hab einfach mal f(x) abgeleitet und geometrische Reihe angewendet und das ganze wieder Integriert dann würde ich 2*∑(-2x)^{n+1} / n+1 rausbekommen für f(x), aber keine ahnung ob das überhaupt der richtige ansatz ist, immerhin steht ja in der Aufgabe man soll die Reihe ableiten/integrieren, nicht die Funktion :(
Würde mich über einen verständlichen Lösungsweg freuen

Comments

Eigentlich steht es doch schon da: Differenziere bzw. integriere beide Seiten der unteren Gleichung.

Answer 1

Beo Potenzreihen ist es so, dass die Abl. der Reihe auch die Abl. der

Funktion gibt.

Abl. von  1 / ( 1+2x) ist  -1 / ( 1+2x)^2     *  2

also gibt die Reihe mit den Summanden    (-1)^n * 2^n * n* x ^n-1

eben die Ableitung   -2 / ( 1+2x)^2     da du es ohne die -2 im Zähler brauchst, ziehst du

sie davor und hast

-2 * Reihe über    (-1)^n * 2^n * n* x ^n-1        =       -2 / ( 1+2x)^2  

also    Reihe über    (-1)^n * 2^n * n* x ^n-1        =       1 / ( 1+2x)^2  

bei Integration entsprechend.

Comments

Woher genau bekommst du die -2 vor der Reihe her? Wenn ich da sganze ableite bekomme ich wie du bereits geschrieben hast -2 / ( 1+2x)² raus dann zieh ich hier das -2 nach vorne soweit versteh ich das.auf der seite mit dem summenzeichen wnen cihd ie ableite bekomm ich (-1)ⁿ * 2ⁿ * n* x ^n-1  raus. nun kann ich da sganze ja gleich setzen jedoch verstehe ich nicht wie du aus dem rechten teil mit dem summenzeichen auf das -2 kommst damit du das dann rausküzen kannst.

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Hab das ganze jetzt nochmal genauer angeschaut und ich würde bei der ableitung der Potenreihendarstellung rechts jetzt -1/2 rausziehn und dann links und rechts durch (-2) teilen dann hätte ich links die funktion g(x) und rechts dann die Potenzreihendarstellung zur Funktion allerdings mit 1/4 * Reihe über (-1)ⁿ * 2ⁿ * n* x ^n-1
Kann das sein ode rhab ich irgendwas nicht beachtet und bin total auf dem Holzweg?