Nullstellen von der Funktion f(x)=1/4x^4+x^3

Question

Kurvendiskussion für die Funktion : f(x)=1/4x⁴+x³

1. Nullstellen

2. Ableitung

3. Extrempunkt

4. Sattelpunkt

5. Wendepunkt

6. Wendetangente

Comments

Und sonst geht's dir gut?

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Da fehlt noch so was wie: UND ZWAR SOFORT!

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Soll es heißen

f ( x ) =1/4 * x⁴ + x³
oder
f ( x ) =1/ ( 4x⁴ ) + x³

mfg Georg

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Die erste Funktion ist gemeint.
Ich kann die Nullstellen nicht berechnen. Es wäre sehr nett, wenn du mir die einzelnen Schritte erklären könntest.

mfg Karina

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hj236: Du hast unten die Berechnung der Nullstellen schon in zweifacher Ausführung. Schreib dort dazu, was du  genau nicht verstehst.

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Die erste Funktion ist gemeint.

Klammere den Leitkoeffizienten (das ist der Faktor vor der höchsten Potenz) und die niedrigste Potenz aus und lies ab:

$$ f ( x ) =\frac 14 \cdot x^4 + x^3  = \frac 14 \cdot x^3 \cdot \left(x+4\right) $$

Answer 1

N´Abend
Wieviel ist hier schon alles zur Beantwortung geschrieben worden.
Einfacher wäre es gewesen deine Fragen direkt zu beantworten.

Kurvendiskussion für die Funktion : f(x)=1/4x⁴+x³

1. Nullstellen
f ( x )  = 0
1/4 * x^4 + x^3 = 0
x^3 * ( 1 / 4 * x + 1 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x^3 = 0  => x = 0
1 / 4 * x + 1 = 0
x = -4
N ( 0  | 0 )
N ( -4 | 0 )

2. Ableitungen
f ´( x ) = x^3 + 3 * x^2
f ´´( x ) = 3 * x^2 + 6 * x

3. Extrempunkt
Punkte mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = 0
x^3 + 3 * x^2 = 0
x^2 * ( x + 3 ) = 0
x = 0
und
x+3 = 0
x = -3

( 0 | 0 )
( -3 | - 27 / 4 )

5. Wendepunkte
f ´´ ( x ) = 0
3 * x^2 + 6 * x = 0
x * ( 3 * x + 6 ) = 0
x = 0
und
3 * x + 6 = 0
x = -2

( 0 | 0 )
( -2  | -4 )

4. Sattelpunkt

( 0 | 0 ) ist ein Wendepunkt und die Steigung ist 0
( 0 | 0 ) ist ein Sattelpunkt

6. Wendetangente
Für ( 0 | 0 )
y = 0

für ( -2 | -4 )
t ( x ) = m * x + b
f ´( -2 ) = 4
m = 4

t ( -2 ) = f ( -2 )
-4 = 4 * ( -2 ) + b
b = 4

t ( x ) = 4 * x + 4

~plot~ 1/4 * x^4 + x^3 ; 4 * x + 4 ; [[  -4.5 |  2 | -7 | 12 ]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Darstellung der Funktion. Wirklich sehr hilfreich.

Mfg Karina

Answer 2

Funktion und Ableitungen

f(x) = 1/4·x^4 + x^3 = 1/4·x^3·(x + 4)

f'(x) = x^3 + 3·x^2 = x^2·(x + 3)

f''(x) = 3·x^2 + 6·x = 3·x·(x + 2)

Wobei hast du jetzt genau Schwierigkeiten ?

Comments

Die Ableitungen habe ich verstanden. Allerdings fehlt mir der Rechenweg für den Hochpunkt, wenn es einen gibt.

Bei Wendetangente, Wendepunkt und Sattelpunkt komme ich leider auch nicht weiter. Es wäre nett, wenn du mir das erklären könntest.

Mfg Karina

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Wurde ja bereits vorgemacht. Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist

f'(x) = 0

x²·(x + 3) = 0

Hier solltest du direkt die Nullstellen ablesen können. Warum ist nur -3 und nicht 0 ein Extrempunkt ? Wie ist das Vorzeichenwechselkriterium?

Notwendige Bedingung für Wendepunkte ist 

f''(x) = 0

3·x·(x + 2) = 0

Hier kannst du auch direkt die Nullstellen ablesen. Warum sind hier beide Stellen Wendepunkte? Auch hier hilft das Vorzeichenwechselkriterium.

Nun solltest du noch zu allen Stellen auch die y-Koordinate bestimmen und das ganze am Graphen prüfen.

Answer 3

1/4 x^4 +x³

Nullstellen ----->  x³ (  1/4 x +1 )   ,    x = 0

1/4x = -1  , x = -4

1.Abl .    x³ +3x²

2.Abl.     3x²+6x

3.Abl.    6x+6

Tiefpunkt ----->  ( - 3 I  -6,75 )

Wendep. →  ( -2 I -4 )

lin x---->± ∞   f(x) = ∞

Comments

Kannst du mir bitte die Rechenschritte bei der Bestimmung der Nullstellen erklären?
 
Das wäre sehr nett, da ich dort meine Probleme habe.

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So gehts :  Einfach x³ ausklammern →  das ist dann  x³  * (  1/4x+1)  = 0

Ist ein Faktor 0 , dann ist das Produkt auch 0 , damit x³ = 0 , also Nullstelle.

1/4x +1 = 0 , Gleichung lösen →  1/4x =  -1  , damit  ist  x= -4 !!

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Vielen Dank für die schnelle Antwort

mfg Karina

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Alles klar , Karina .

Bei Fragen einfach melden !

Answer 4

Nullstellen

0 =1/4x⁴+x³

 ^{x^3 ausklammern}

^{0 = x^3 (1/4x)}

^{0 = 1/4 x I:1/4}

^{0 = x} 

^{Eigenltich solltest du die Nullstelle x = 0 sofort erkennen.} 

^Ableitungen

^{f(x) =  1/4 x ^4 + x ^3}

^{f´(x) = 4 x ^3 + 3x^2}

^{f´´(x) = 12 x ^2 + 6 x}

^{f´´´(x) = 24 x + 6}

^Extremwert

^{1. Ableitung Null setzen}

^{0 = 4 x ^3 + 3 x ^2}

^{x^2 ausklammern}

^{0 = x^2 ( 4x + 3)}

^{0 = 4x +3 I-3}

^{-3 = 4x I :4}

^{-0,75 = x}

^{0 = x}

^{Lösung von x in f(x) einsetzen} 

^{f(0) = 0}

^{f(-0,75) = 1,76}

^Extrempunkte

^{(-0,76/1,76)  => Hochpunkt}

^(0/0)

^Wendepunkt

^{2. Ableitung Null setzen}

^{0 =} 12 x ^2 + 6 x

x aus klammern

0 = x * (12x +6)

0 = 12 x + 6 I-6

-6 = 12x I :12

-0,5 = x

0 = x

x-Werte in f(x) einsetzen

f(-0,5) = 0,76

f(0) = 0

Sattelpunkt bei (0/0), weil an der Stelle sowohl eine Steitung von 0 als auch WEndepunkt vorliegt.

Wendetangente hat die Form einer Geraden: y = m * x + b

Wendepunkt in die erste Ableitung einsetzen

f´(x) = 4 x ³ + 3x²

^{f(-0,5)  = 4 * (-0,5) ^3 + 3 * (-0,5) ^2}

^{= 3,45 = m = Steigung}

^{Punkt + Steigung in die Normalform einer Linearen Funktion einsetzen}

^{y = m * x + b}

^{0,76 = 3,45 * (-0,5) + b}

^{0,76 = -1,725 + b I + 1,725}

^{2,485 = b}

^Tangente

^{y = 3,45 x + 2,485}

^{Bin mir nicht sicher..}

Comments

Vergiss meine Antwort.. Die Ableitungen sind falsch.. Sorry, kann das heute nicht.

Answer 5

 f(x)=1/4x⁴+x³       |x^3 ausklammern

f(x) = x^3 (0.25 x + 1)

Nun: Nullstellen ablesen.

x1 = 0 ist eine dreifache Nullstelle.

x2 = -4 ist eine einfache Nullstelle. Grund : 0.25 * (-4) = -1. 

Da x1=0 eine dreifache Nullstelle ist, weisst du bereits, dass P(0,0) ein Terrassenpunkt (=Wendepunkt mit horizontaler Tangente, ihr nennt das Sattelpunkt) ist. Die eine Wendetangente hat somit die Gleichung y= 0. In der Rechnung, die du nun machst, kannst du dieses Wissen als Kontrolle benutzen.