Antwort mit KI erzeugt
Beweis Teil (a)
Behauptung: Wenn \(f_n: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen ist, die gleichmäßig gegen die Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) konvergiert, dann ist \(f\) Riemann-integrierbar und es gilt:
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n(x) dx \)
Beweis:
Sei \(\epsilon > 0\) beliebig. Da \(f_n\) Riemann-integrierbar ist, existiert zu jedem \(f_n\) eine Unterteilung \(P_n\) des Intervalls \([a,b]\), sodass
\( U(f_n, P_n) - L(f_n, P_n) < \frac{\epsilon}{2} \)
Hierbei bezeichnen \(U\) und \(L\) die Ober- bzw. Untersumme von \(f_n\) bezüglich der Unterteilung \(P_n\).
Da \(f_n\) gleichmäßig gegen \(f\) konvergiert, existiert ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n \geq N\) und für alle \(x \in [a,b]\) gilt:
\( |f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2(b-a)} \)
Wähle eine Unterteilung \(P\) von \([a,b]\) so, dass sie alle Unterteilungspunkte von \(P_n\) für \(n \geq N\) und zusätzlich beliebige weiter Unterteilungspunkte enthält, um die Riemann-Integrierbarkeit von \(f\) zu zeigen. Für diese Unterteilung \(P\) und für alle \(n \geq N\) gilt, dass
\( U(f, P) - L(f, P) \leq U(f_n, P) - L(f_n, P) + \epsilon \)
Da \(U(f_n, P) - L(f_n, P) < \epsilon\) für genügend großes \(n\), folgt, dass
\( U(f, P) - L(f, P) < 2\epsilon \)
Da \(\epsilon\) beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus, dass \(f\) Riemann-integrierbar ist.
Außerdem folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz und der Riemann-Integrierbarkeit der \(f_n\):
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n(x) dx = \int \limits_{a}^{b} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x) dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx \)
Beweis Teil (b)
Behauptung: Die Funktion
\( f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} H(x-r_n) \)
ist Riemann-integrierbar und unstetig in \(x = r_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).
Beweis:
Zuerst wird die Unstetigkeit von \(f\) in \(x = r_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gezeigt.
Für ein festes \(r_n\), betrachten wir die Werte von \(f\) bei Annäherung an \(r_n\) von links und von rechts:
- Von links genähert gilt \(f(r_n^-) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} H(r_n^- - r_k) = \sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}\), da \(H(x) = 0\) für \(x \leq 0\).
- Von rechts genähert gilt \(f(r_n^+) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} H(r_n^+ - r_k) = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\), da \(H(x) = 1\) für \(x > 0\).
Daraus folgt, dass \(f\) in jedem \(r_n\) unstetig ist, denn \(f(r_n^+) - f(r_n^-) = \frac{1}{n^2}\).
Um die Riemann-Integrierbarkeit von \(f\) zu zeigen, beachten wir, dass die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)
konvergiert (bekannt als die Basler Problem-Lösung). Da jede Funktion \( \frac{1}{n^2} H(x-r_n) \) beschränkt und fast überall stetig ist (außer in \(x = r_n\)), und die Summe der Abschätzungen eine konvergente Majorante hat, können wir den Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz anwenden, um zu folgern, dass \(f\) Riemann-integrierbar ist.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass \(f\) unstetig in \(x = r_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) ist und \(f\) Riemann-integrierbar ist, was beweist, dass die gegebene Konstruktion zu einer sowohl Riemann-integrierbaren als auch in bestimmten Punkten unstetigen Funktion führt.
