Question

Beweise, dass x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz+ zx + z - x. Wenn 0<x<y<z<1.

Wie muss ich hier vorgehen, geht es das mittels Induktion?

Comments

Nein, mit Induktion geht es siher nicht. Aus welchem Stoffzusammenhang ist die Frage entstanden?

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Leistungskurs Mathe, Abitur 13. Klasse, und niemand hat einen Plan :)

Answer 1

Wegen  0<x<y<z<1

x² + y² + z² < xy + yz+ zx + z - x  

⇔ x² -xy + y² -yz + z² -zx <  z - x

⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  <  z - x

Wegen  0<x<y<z<1 sind die ersten beiden Klammern negativ und

da z < 1 ist gilt  z(z-x)  <  z - x; denn wenn man einen positiven Term

(und das ist ja z-x) weil x < z )  mit einem

positiven z < 1 multipliziert, wird er kleiner.

Comments

Meine Hochachtung. Exzellenter Beweis.

Ich habe es auch probiert, hatte aber einen sehr umständlichen Weg gewählt, der dazu noch in einer Sackgasse verlaufen war :(

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Hi, man könnte auch so enden:

⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  <  z - x

⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  -(z - x)  < 0

⇔ x(x-y) + y(y-z) + (z-1)(z-x)  < 0

(negative Faktoren rot, positive grün)

Alle Summanden sind negativ.

Answer 2

0 < x < y < z < 1
x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz + zx + z - x

Richtig sind die Teilaussagen
1.) x^2 < xy da y > x
2.) y^2 < yz da z > y

Jetzt wäre noch zu zeigen
z^2 < zx + z - x
z^2 < x * ( z - 1 ) + z
z^2 - z < x * ( z - 1 )
z * ( z - 1 ) < x * ( z - 1) | durch ( z - 1 ) teilen. Da z-1 negativ ist Umkehrung von <
3.) z > x

Durch den Nachweis aller 3 Teilaussagen ist die
Gesamtaussage auch wahr.

Answer 3

Hier eine einfachere und leichter einzusehende Beweisvariante:
$$ \text{Sei } 0 < x < y < z < 1.\text{ Dann gilt:}\\\,\\ x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz + zx + z - x. \\\,\\ \text{Beweis: Die Aussage ist äquivalent zu }\\\,\\ 0 < xy-x^2 + yz-y^2 + zx-z^2  + z - x \\\,\\ 0 < x\cdot\left(y-x\right) + y\cdot\left(z-y\right) + \left(1-z\right)\cdot\left(z-x\right).\\\,\\ \text{Alle Faktoren sind nach Voraussetzung positiv.} $$Beim Generieren von derartigen Aussagen kann man umgekehrt vorgehen.