Skalarprodukträume/Sesquilinearformen

Question

Wie finde ich raus ob der folgende Vektorraum über IR mit der gegebenen Sesquilinearform zum Skalarproduktvektorraum wird?

Geg:
$$ℝ^{2x1} \ über\  ℝ $$ mit $$  <x,y> = x^{tr} * \begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} *y $$

$$\ für\ x,y∈ℝ^{2x1}$$

Answer 1

Sesquilinear gibt es doch nur über C ???

Du musst nur schauen, ob durch diese Def. ein Skalarprod.

gegeben ist; d.h. es muss

bilinear, symmetrisch und üpos. definit sein.

bilinear:

1.  < a+b , y> = < a,y> + b,y>    für alle a,b,y aus IR ^2,1 

einfach nachrechnen  mit der gegeb. Matrix M

< a+b , y> = ( a+b) ^tr * M * y

= ( a ^tr + b ^tr) * M * y

=       a ^tr * M *y ⁺   b ^tr * M  *y

=       < a,y> + >b,y> Passt also

ebenso mit nem Faktor c aus IR

< c*x,y> = c* <x,y>

symmetrisch:    <x,y>= <y,x,>    auch nachrechnen

gibt bei beiden (x1+x2)*y1 +x1*y2

und pos. def. prüfen:

das stimmt wohl nicht mit   x ^tr = ( 1 ; -2 )

bekomme ist bei  x ^tr * M * x = -3 also nicht positiv.

Comments

Eine Frage noch, irgendwie lassen sich bei mir alle Aufgabe durch Prüfung der pos. Definitheit widerlegen.

Darf man x frei wählen aus IR oder muss es irgendwelche Eigenschaften erfüllen?

Bsp:

Selbe Aufgabe aber im ℝ^{3x1} mit:

$$  x^{tr} * \begin{pmatrix}  1 & 0 &3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}  *  y$$

wenn ich jetzt x=y=(-1 ; 2; 1 ) wähle dann bekomme ich =-4 raus. => nicht pos. definit?

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genau, du musst nur x=y wählen und dann schauen ob es immer ≥ 0 ist.

bei einem Gegenbeispiel ist es widerlegt.