ich bearbeite gerade eine Altklausur. Ich bin bei folgender Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Funktion u(x,y) = x^3 -3xy^2 harmonisch ist.
Existiert eine analytische Funktion C->C , so dass gilt:
u(x,y) = Re (f(x+iy) )
Das Erste ist leicht zu zeigen und bereits erledigt.
Bei dem Zweiten habe ich Probleme.
Ich weiß,dass eine Funktion u harmonisch ist, wenn es so eine Funktion f gibt, sodass Re (f(x+iy) ) = u(x,y).
Gilt dies auch für die andere Richtung, also harmonisch -> Funktion kann als Realteil einer analytischen Funktion dargestellt werden??
In der Aufgabenstellung steht noch als Zusatz:
Falls ja, welche? Falls nein, wieso nicht?
Wir hatten bereits so eine ähnliche Aufgabe, jedoch da wurde gesagt, man könne durch bloßes Hingucken( da musste man aber wirklich sehr gut Hingucken) erkennen können,dass u der Realteil einer bestimmten Funktion ist.
Durch Hingucken erkenne ich hier leider nichts.
"Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann"
Diesen Satz habe ich aus Wikipedia entnommen.
Kann ich meine analytische Funktion per Taylorreihe aufstellen(die Partiellen Ableitungen von u werden ja relativ früh 0).
