Gemäss Definition verallgemeinerte Binolialkoeffizienten
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Verallgemeinerung
ist
(-1/2 tief n) = ((-1)/2*(-3)/2*.....*(-(2n+1))/2 ) /n!
= (-1)^n * 1/2^n *(1*3*5*…*(2n+1)) / n!
(2n tief n) = (2n)! / (n! * n!)
|ein n! lässt sich kürzen. Es bleibt links.
= 2n*(2n-1)*(2n-2)…(n+1)/n!
rechts bisher:
(-1)^n* 4^n * (-1)^n * 1/2^n *(1*3*5*…*(2n+1)) / n!
= (-1)^n* 4^n * (-1)^n * 1/2^n *(1*3*5*…*(2n+1)) / n!
= 1*2^n *(1*3*5*…*(2n+1)) / n!
= 2^n *(1*3*5*…*(2n+1)) / n!
Warum sind die beiden violetten Terme gleich? unten: n! ok.
Im Zähler steht rechts das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen mal 2^n
und links das Produkt von n Zahlen, die Grösser sind als n. Jede zweite von denen lässt sich durch 2 dividieren.
= 2n*(2n-1)*(2n-2)…(n+1) = 2*n*(2n-1)*2(n-1)*(2n-3)........(n+1 oder 2)
neu sortieren
= 2^{ca. n/ 2} * (2n-1)(2n-3)(2n-5) ... n(n-1) ..... (n+1 oder2)/2
Zwischen n und n/2 wieder gerade Zahlen vorhanden (ca n/4 solche). Diese halbieren und nach hinten verschieben
= 2^{ca. n/ 2 + n/4 } * (2n-1)(2n-3)(2n-5) ..... (n+1, 2,3 oder4)/4
Ab n+1oder2/2 keine Unterbrüche. Diese halbieren und nach hinten verschieben usw.
= 2^{n/2 + n/4 + n/8 +...}*(2n-1)(2n-3)...*5*3*1
= 2^n * (2n-1)(2n-3)...*5*3*1
Somit dasselbe wie rechts
qed.
Bei ca n/2 … bräuchte es noch eine Fallunterscheidung für n gerade und ungerade, durch 4 teilbar und Restklassen…
