Vollst. Induktion Summe der Kubikzahlen

Question

Guten tag

Ich bräuchte den Induktionsschluss dieser aufgabe. Kann mir jemand den kompletten Rechenweg zeigen?

Danke

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 3 } } =\frac { { n }^{ 2 }{ (n+1 })^{ 2 } }{ 4 } \quad \quad \quad n\in N$$

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Vollständiger Beweis: https://www.mathelounge.de/61205/sei-n-gegeben-ist-die-folgende-richtige-formel-1-3-2-3-n-3-n-2-n-1-2

Answer 1

Hi Ckay,
Induktionsschritt:  
$$ \sum_{k=1}^{n+1}k^3 = \sum_{k=1}^nk^3 +(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4} \\ = \frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} $$
Gruß

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Vielen dank Yakyu für die schnelle Antwort. Habs verstanden

Answer 2

$$\sum_{k=0}^n k^3=n^3+\frac{1}{4} (n-1)^2n^2=\frac{1}{4}(4n^3+n^4-2n^3+n^2)=\frac{1}{4}n^2(n^2+2n+1)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

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Danke für die hilfe.