l'Hopitalsche Regel anwenden

Question

Gegeben lim x->0 (tan(x)-sin(x))/x(1-cos(x)) have ich mal den l'Hopitalsche Regel angewendet und kam auf (1/cos^2(x) - cos(x))/(1-cos(x)+sin(x)x) jedoch habe ich keine Ahnung wie ich hier weiter rechnen kann und warum in den Lösungen ein Zwischen wert ((1-cos(x)) - sin(x))/(x(1-cos(x)) steht, was viel einfacher aussieht.

Die Endergebnis sollte 1 sein.

Answer 1

(TAN(x) - SIN(x)) / (x·(1 - COS(x)))

= (SIN(x)/COS(x) - SIN(x))/(x·(1 - COS(x)))

= SIN(x)/COS(x)·(1 - COS(x))/(x·(1 - COS(x)))

= TAN(x)·(1 - COS(x))/(x·(1 - COS(x)))

= TAN(x)/x

= SIN(x)/(x·COS(x))

L'Hospital

COS(x)/(COS(x) - x·SIN(x))

lim x --> 0

= 1