Gleichung einer Parabel bestimmen: Scheitel liegt im Hochpunkt von f

Question

Funktion=    (x)=0,5x^4 - 2x^2 + 4

d) Eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitel im Hochpunkt von f liegt, soll durch die beiden Tiefpunkte von f gehen. Bestimmen Sie ihre Gleichung.

Answer 1

Ich mach mal eine Skizze mit der gegebenen blauen Kurve und dem Ansatz für die gesuchte Parabel.

Diese muss aus Symmetriegründen den Schweitelpunkt in (0/4) haben.

Deshalb hat sie die Gleichung y = 4 - a x^2  , a>0

Für die Skizze habe ich y_violett = 4 - 0.5 x^2 , y_rot = 4 -  x^2 und y_grün = 4 - 2 x^2 gewählt.

Zufällig erfüllt y_rot die Bedingung. Wir wissen also, was rauskommen muss.

Wir müssen also die 'Tiefpunkte' der blauen Kurve berechnen.

 

 f (x)=0,5x^4 - 2x^2 + 4                |ableiten, 0 setzen

f'(x) = 2x^3 - 4x = 0                      | Faktorisieren

2x(x^2-2) =0

2x(x-√2)(x+√2) = 0

x₁=0 (Hochstelle), x_2,3 = ± √2   Tiefstelle

Einen Tiefpunkt berechnen

 f (√2)=0,5(√2)^4 - 2(√2)^2 + 4 = 0.5* 4 - 2*2 + 4 = 2              T(√2 |2)

Jetzt in den Ansatz T einsetzen und a berechnen

y= 4 - a x^2

2 = 4- a (√2)^2

2 = 4 - a *2       ------->a = 1

Deshalb ist tatsächlich y = 4 - x^2 die gesuchte Parabel.

Link zu einem andern Teil der Kurvendiskussion von f(x) https://www.mathelounge.de/2550/kopfschmerzen-wegen-dieser-aufgabe

 

Comments

Mal eine kleine Frage : Bist du Matheprofessor oder macht dir das einfach nur spaß leuten wie mir die nur teilweise ahnung von mathe haben dies zu erklären ?

Answer 2

Du machst ein Gleichungssystem

ax₁² + bx₁ + c = y₁

ax₂² + bx₂ + c = y₂

ax₃² + bx3 + c = y₃

3 Unbekannte a,b,c

für x setzt Du die drei x-Koordinaten der Extremstellen ein, für y die f(x) an diesen Stellen

Die Tiefpunkte sind an den Stellen ±√2, das relative Maximum ist an der Stelle =0 mit f(0)=4

Ich habe erhalten : g(x) = -x² + x +4

Comments

Lu's Lösung ist richtig, das x gehört nicht in die Gleichung

g(x) = -x² +4