DGL erster Ordnung y' = 2y/x lösen?

Question

Löse folgende DGL:
$$y' = \frac { 2y }{ x } $$

Für die vorläufige Lösung komm ich auf

$$y=2x+C$$

Keine Ahnung ob das stimmt und auf eine endgültige Lösung komm ich auch nicht

Answer 1

y ' = 2y / x   =   2/x * y 

Also ist die Ableitung bis auf den Faktor  2/x gleich der Funktion.

Dann ist y eine e-Funktion mit einem Exponenten, dessen Ableitung  2/x ist.

und 2/x ist die Ableitung von 2 ln(x).

Also  y = e ^2ln(x)  + C  = x^2 + C   ( Du bist mit *2 und hoch 2 durcheinander gekommen.)

Probe:   y = x^2 + C          y ' = 2x   einsetzen

2x = 2 * (x^2+c)/x =  2x^2 / x  +  2c / x   = 2y/x  +  2c/x

und damit es gleich 2y / x ist, muss C=0 sein.

Also einzige Lösung  y = x^2

Comments

Also einzige Lösung  y = x²

Es gibt noch eine andere Lösung

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Sogar unendlich viele.

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Ach ja, kannst wohl noch nen Faktor vor das x^2  stellen ??

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Nicht jeden Faktor.

Warum hast du nicht einfach Trennung der Variablen durchgeführt?

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Wäre ja eine Idee!

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Ich hab dann probiert mit Variation der Konstanten weiterzurechnen aber ihrgendwie funktioniert das nicht.
Kanns sein das es damit gar nicht geh?

Answer 2

dy/dx = 2y/x       | Trennung der Variablen

dy/y = 2dx/x         | integrieren links und rechts.

ln|y| = 2ln|x| + C

ln|y| = ln|x^2| + C

e^{ln|y|} = e^ (ln|x^2| + C)

|y| = x^2 * e^C

y = D*x^2 , wobei D≠0.

y = 0 sollte eigentlich auch gehen.

Also y = D*x^2 , D Element R.

Kontrolle.

y' = D*2x

und 2y / x = 2*D*x^2/x = 2*D*x.

Comments

ja genau das ist die Variablentrennung 
ich mein Variation der Konstanten

D wird zu D(x)
die lösung ableiten zu y'
y und y' in die Grundgleichung einsetzt und dann damit D ausrechnet und in die lösung einsetzen

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Mein D ist einfach eine reelle Konstante. Etwas anderes kannst du in der Lösung deiner Gleichung mE nicht erwarten, ausser du hast noch eine Anfangsbedingung vorgegeben.

Was du mit y=2x+C machen wolltest, verstehe ich leider nicht.

y' = 2

Aber 2y/x= 2(2x+C)/x = 4 + 2C/x

Das ist nicht dasselbe.

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https://www.youtube.com/watch?v=kzhYoJTieh0

hier sieht man es ganz gut

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Ich habe das Video angesehen.

Nur: Wer sagt denn, dass deine DGL inhomogen ist?

Was genau nimmst du denn als Störfunktion, wenn da rechts noch ein y steht?

Ich glaube, mathef hat die Frage eher in deinem Sinn interpretiert. Lies dort einfach noch alle Kommentare.

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oh jetz hab ichs auf das hab ich garnet geachtet