Mehrdimensionale Extremstellen f (x, y, z) = 2x^2 − xz −z^3 + y^2 +3

Question

ich gehe gerade alte Klausuren durch und komme bei der einen Aufgabe nicht weiter.

f (x, y, z) = 2x² − xz −z³ + y² +3

(a) Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f und geben Sie jeweils an, ob es sich um Minima oder Maximum handelt

Die Schritte sind mir prinzipiell klar:

1. Gradient bestimmen

2. Gradient 0 setzen und das Gleichungssystem lösen

3. Hesse-Matrix bestimmen

4. Extremstellen in die Hesse-Matrix einsetzen und die Definitheit bestimmen

Schritt 1:

grad f(x,y,z,)= ( 4x-z, 2y, -x-3z² )

Schritt 2:

grad f(x,y,z,) = 0

I:    4x-z = 0

II:   2y = 0     -> y=0

III:  -x-3z² = 0

Und bei diesem Schritt habe ich schon Probleme. Ich würde jetzt die Gleichung III mit -4 multiplizieren und die neue Gleichung dann von der I subtrahieren.

Damit würde ich dann -12z²-z=0 erhalten.

Wie kann ich das Gleichungssystem lösen? Ich steh da leider gerade etwas auf dem Schlauch.

Comments

Aufgabe c) ist

Geben Sie das Taylorpolynom ersten Grades von f um den Ursprung als Entwicklungspunkt an.

Bei meiner Berechnung komme ich auf die Lösung 3.

Lösungsweg:

f(0,0,0) + fx(0,0,0) * (x-0) + fy(0,0,0) * (y-0) + fz(0,0,0) * (z-0)

= 3 + 0 * x + 0 * y + 0 * z

= 3

Stimmt das so?

Answer 1

-12z²-z=0 ist eine quadratische Gleichung.

Schau mal in deinen Unterlagen nach, wie ihr quadratische Gleichungen gelöst habt. 

Alternativ: Hier Zusammenfassung ansehen: https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

Answer 2

\(z\) ausklammern:

$$ -12z^2-z = -z(12z+1) = 0 $$

Ein Produkt in einem Körper kann nur 0 sein, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Das bedeutet 2 Lösungen für \(z\):

$$ z_1 = 0 \vee z_2 = -\frac{1}{12} $$

Gruß

Comments

Dann erhalte ich für x auch zwei Lösungen: x1= 0 und x2= -1/48

Also hab ich die Punkte: P1=(0/0/0) und P2=( -1/48 / 0 / -1/12 ) und die setze ich dann später beide in die Hesse-Matrix ein?

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Genau, so ist es :).

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Muss ich hier jetzt eine Nullstelle raten und dann Polynomdivison anwenden?

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Es ist besser, wenn du vor dem Ausmultiplizieren schon ausklammerst.

Wenn ich das richtig sehe (du hast zu viele MAL) kannst du (lambda - 2) ausklammern.

So kommst du um die Polynomdivision und das Raten von Nullstellen rum.

(4-k)(2-k)(-k) - (-1)^2(2-k) 

= (k^2-4k)(2-k) - 1(2-k)

= (k^2 - 4k -1)(2-k)  = 0

k1=2,

k2 und k3 mit hilfe von k^2 - 4k -1 = 0 noch ausrechnen.

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Ah super, danke.

Hatte beim Raten der ersten Nullstelle schon Probleme bekommen.