Vektorgeometrie: Gegeben seien die beiden Punktmengen

Question

Ich hab zwei Punktmengen:

\( A_{1}=\left\{\vec{x} \mid \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)
\( A_{2}=\left\{\vec{x} \mid \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)\right\} \)

Dazu 4 Aufgaben:

1. Welche Figuren werden durch ₁ und ₂ beschrieben?

Da habe ich raus, dass ₁ eine Ebene, ₂ eine Gerade ist.

2. Welche Figur entsteht beim Schnitt von ₁ mit ₂?

keine Ahnung, ich hab nur einen Schnittpunkt rausgekriegt s=(2, 4, 3)

3. Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. einen Vektor.

Absolut keine Ahnung

4. Stellen Sie A₂ und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar.

Das kann ich auch nicht

Comments

Zeichnet man die Punktmengen mit dem Geoknecht, so ergibt sich: 

Hier erkennt man gut, dass die erste Gleichung zu der grünen Ebene führt und die zweite Gleichung zu der lila Gerade. 

Geoknecht sagt im Übrigen: 

Parameterform: (x|y|z) = (1|2|3) + s·(0|1|0) + t·(1|1|0) Koordinatenform: 0·x + 0·y + -1·z = -3

Parameterform: (x|y|z) = (0|0|1) + s·(1|2|1) + t·(2|4|2) Koordinatenform: 0·x + 0·y + 0·z = 0

Man erkennt, dass sich die Ebene nur über z erstreckt.

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Vom Duplikat:

Titel: Vektorgeometrie: Gegeben seien die beiden Punktmengen

Stichworte: vektorgeometrie

ich komme hier einfach nicht weiter, wie wird das hier in das 3D koordinatensystem eingezeichnet? 

r und s  sind parameter, ich habe versucht jeweils
r=1 und s=1,
r=2  und s=2,
r= -1 und s= -1
r= -2 und s= -2

einzusetzen, mit den einzgesetzten Werten die vektoren dann auszumultiplizieren, sie zu addieren und einzuzeichnen.
Das gleiche habe ich natürlich auch mit der 2 Punktmenge versucht, anschließend beide eingezeichnet, aber es kommt etwas komisches heraus und kein (laut link- lösung unten Quader).
beispiel:

(1)            (0)              (1)        (2)
(2)  +  1 *  (1)   + 1 *   (1)   =   (4)
(3)            (0)              (0)        (3)

die Aufgabe wurde hier schon mal gestellt angeblich kommt ein Quader heraus, doch komme ich auf diesen nie.

https://www.mathelounge.de/259458/vektorgeometrie-gegeben-seien-die-beiden-punktmengen

ich Danke jeden der sich die Zeit nimmt mir zu helfen.

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Kommentar an Joey 2018:

Du hast die Fragestellung vergessen. Ich leite deine Frage auf die vorhandene Frage um.

Einfach so kommt da kein Quader heraus.

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@joey: Ich habe eine vorläufige "Antwort" für dich geschrieben.

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@Matheretter:

Parameterform: (x|y|z) = (0|0|1) + s·(1|2|1) + t·(2|4|2) Koordinatenform: 0·x + 0·y + 0·z = 0

Man erkennt, dass sich die Ebene nur über z erstreckt.

Passt nicht. Diese Punktmenge ist eine Gerade. Für Geradengleichungen kann man in R^3  keine Koordinatenform angeben.

Answer 1

2. Welche Figur entsteht beim Schnitt von ₁ mit ₂?

keine Ahnung, ich hab nur einen Schnittpunkt rausgekriegt s=(2, 4, 3)

Mehr gibt es auch nicht !!! und bei

3. brauchst du dann den Ortsvektor zu diesem Schnittpunkt.

also   s=(2, 4, 3)

4. etwa so:

 

Answer 2

Antwort auf Nachfrage 2018:

M1 und M2 sind Punktmengen in R^3.

Wenn sie nicht zufällig parallel zueinander sind, gibt es eine Schnittgerade.

Repetiere: Ebenengleichungen in Parameterform und Koordinatenform. 

ich komme hier einfach nicht weiter, wie wird das hier in das 3D koordinatensystem eingezeichnet? 

r und s  sind parameter, ich habe versucht jeweils
r=1 und s=1,
r=2  und s=2,
r= -1 und s= -1
r= -2 und s= -2

einzusetzen, mit den einzgesetzten Werten die vektoren dann auszumultiplizieren, sie zu addieren und einzuzeichnen.
Das gleiche habe ich natürlich auch mit der 2 Punktmenge versucht, anschließend beide eingezeichnet, aber es kommt etwas komisches heraus und kein (laut link- lösung unten Quader).
beispiel:

(1)            (0)              (1)        (2)
(2)  +  1 *  (1)  + 1 *  (1)  =  (4)
(3)            (0)              (0)        (3)



die Aufgabe wurde hier schon mal gestellt angeblich kommt ein Quader heraus, doch komme ich auf diesen nie.

Am einfachsten schaust du nach der Theorie erst mal die Fragen an:

Editorfehler?
1. Welche Figuren werden durch M_(1) und M_(2) beschrieben?

Da habe ich raus, dass  

M_(1) eine Ebene,  M_(2 )eine Gerade ist.

richtig.

2. Welche Figur entsteht beim Schnitt von M_(1 )mit M_(2)?

keine Ahnung, ich hab nur einen Schnittpunkt rausgekriegt S=(2, 4, 3)

Richtig so. Ebenen und Geraden haben in der Regel einen gemeinsamen Punkt. 

3. Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. einen Vektor.

Du kannst den Ortsvektor des Schnittpunktes einzeichnen. Das macht man in der Regel mit einem Koordinatenquader. 

4. Stellen Sie A2 und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar.

Ich weiss nicht, was A2 ist. Ebene und Gerade kann man im Koordinatensystem einzeichnen. 

Von Hand berechnet man z.B. die Achsendurchstosspunkte der Ebene und für die Gerade kann man zwei Schnittpunkte mit Koordinatenebenen ausrechnen. So bekommt man ein korrektes Schrägbild.

Comments

Hier ist jetzt mal ein Koordinatenquader für den Schnittpunkt S.

https://www.matheretter.de/rechner/schragbild?draw=vektor(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%20%0ASchnittpunkt%20rausgekriegt%20S%3D(2.%204.%203)%0Aquader(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%0Apunkt(2%7C4%7C3%20%22S%22)&scale=10&pa=45&xy=1

Dasselbe in 3D und beweglich:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%20%0ASchnittpunkt%20rausgekriegt%20S%3D(2.%204.%203)%0Aquader(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%0Apunkt(2%7C4%7C3%20%22S%22)

Das ist natürlich noch lange nicht die ganze Vektorgeometrie. Beschäftige dich erst ausführlicher mit Ebenen- und Geradengleichungen.

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bin bei 3.  Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. einen Vektor.

Der Ortsvektor des Schnittpunktes (2,4,3) ist (0, 3, 2) ? nur einzeichnen und fertig oder muss ich eine art Gleichung aufstellen? "beschreiben", falls ja wie?

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Der Ortsvektor OS des Schnittpunktes S(2,4,3) ist OS= (2,4,3) .

Einziger Unterschied zwischen Ortsvektor und Punkt ist, dass man bei Punkten die Koordinaten in der Regel gleich neben seine Bezeichnung und nebeneinander notiert.

Der Ortsvektor wird in einer Gleichung angegeben. 

Pfeil über OS = Vektor (Komponenten untereinander schreiben)

Bei 4. gibt es einen Druckfehler. Üblich wäre z.B., dass man Ebene und Gerade inklusive Schnittpunkt im 3D Koordinatenssystem zeichnet, wie ich das beschrieben habe. Nur: Da brauchst du erst mal die Theorie zu beiden Kapiteln. Melde dich wieder, wenn du Ebenen- und Geradengleichungen gehabt hast. 

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Danke für die Hilfe,

eine frage noch ich dachte der Ortsvektor beginnt beim Ursprung (0,0,0) und zeigt auf den Punkt (2,4,3). dann hätte dieser doch (0, 3, 2) als koordinaten? laut

https://www.matheretter.de/rechner/schragbild?draw=vektor(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%20%0ASchnittpunkt%20rausgekriegt%20S%3D(2.%204.%203)%0Aquader(0%7C0%7C0%202%7C4%7C3)%0Apunkt(2%7C4%7C3%20%22S%22)&scale=10&pa=45&xy=1

Wen (2, 4, 3)  der Ortsvektor ist wurde hier doch statt beim Ursprung bei x1=2 begonnen?  ==> (2, 4, 3) oder verwechsle ich da was?

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Ich ergänze ein paar Hilfslinien, die im Video nur sehr schwach zu sehen sind.

Du kannst aber auch (besser) direkt am Koordinatenquader ablesen, welche Komponenten der Vektor OS hat.

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danke, fälschlicherweise dachte ich der OS wär das hier

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Bitte. Gut, dass das geklärt ist. Wenn ein Objekt (zB. Vektor) dreidimensional ist, darf man die Koordinaten nicht einfach in der Aufrissebene (yz-Ebene) ablesen.

Es geht schon um den gelben Vektor, aber der klebt nicht hinten an der Wand, sondern schaut etwas gegen dich wie der Quader.

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mein Lernheft für dieses Thema ist echt n Witz :(
ich komme hier nicht weiter

4. Stellen Sie A2 und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar.



A1 (die Ebene) nach dem Kreuzprodukt den (n Vektor (5,0,-1) bekommen, dann
auf die Koordinatenform gebracht: 
krieg ich     5x1 + 0x2  - x3  = 4    heraus, als (Achsendurchstosspunkte)\Spurpunkte (Nullen eingesetzt für die anderen variablen um die spurp herauszbekommen)
  spurp1:       5   |    0   |   0   = 4    // : 5  => 0,8
  spurp2:       4 / 0 teilen durch 0 geht nicht also kein spurpunkt?
  spurp3:       0   |    0   |   -1  = 4   // : -1  => -4
 
ist das in ansatzweise korrekt oder ganz falsch?

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Gemäss der neuen (vollständigen Fragestellung) musst du die Ebene A1 gar nicht einzeichnen. :)

Dennoch: Ich würde die Achsendurchstosspunkte direkt ausrechnen.

Im Folgenden:

Vektor x = (x,y,z)

x-Achsendurchstosspunkt: Auf x-Achse gilt: y = z = 0

Daher zwei Komponentengleichungen:

2+1r+1s = 0

3+0r + 0s = 0 Null mal irgendetwas gibt immer Null

==> 3=0 falsch!

D.h. die Ebene verläuft parallel zur x-Achse.

spurp2:      4 / 0 teilen durch 0 geht nicht also kein spurpunkt?

War vielleicht dein Problem hier. Nur: Schreibe besser. Null mal irgendetwas gibt immer Null und nicht z.B. 4.

Ich hoffe, das hilft schon mal ein Stück weiter.

Zwischenresultate gegebenenfalls hier kontrollieren.

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Zu den Spurpunkten von A2.

Den zweiten Richtungsvektor kannst du weglassen, da es sich um eine Gerade handelt.

Der Stützpunkt P(0,0,1) liegt bereits in zwei Koordinatenebene, da er auf einer Koordinatenachse liegt. Daher P(0,0,1)= S_(x)(0,0,1) = S_(y)(0,0,1)

Nun noch S_(z). Bedingung: z=0

x = 0 + 1*t

y = 0 + 2*t

z = 1 + 1*t = 0 ==> t = -1

x = 0 + 1*(-1) = -1
y = 0 + 2*(-1) = -2
z = 1 + 1*(-1) = 0

S_(z)(-1|-2|0)

Die Spurpunkte einzeichnen, mit dem Lineal verbinden. Wenn du das richtig machst, liegt der Schnittpunkt S nun im Schrägbild auf dieser Geraden.

Answer 3

1. ist richtig

2. also ist die "Figur" ein Punkt (S)

3. kann dann dann nur der Ortsvektor von S sein

4. Wenn man im KS Punkte durch Quader verdeutlicht, deren eine Ecke im Ursprung liegt und die diagonal gegenüber liegende Ecke den Punkt darstellt, ergibt sich eine brauchbare Darstellung

Comments

3. wie bestimme ich den ortsfaktor von s?

4. welche punkte muss ich denn zum zeichnen nehmen? die aus der punktmenge oder den schnittpunkt s (2,4,4)?

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Wenn du in der oben stehenden Zeichnung von S aus Senkrechten auf die Koordinatenebenen gestrichelt zeichnest und dann von den erhaltenen Schnittpunkten noch einmal parallel zu jeder Achse einer Ebene eine Linie zur anderen Achse, erhältst du einen Quader, der die Lage von S im Raum verdeutlicht.  

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So könnte die Darstellung aussehen: