Finden der kritischen Stellen für Extrema: Gradient gleich Null überprüft doch nicht alle Richtungen, oder?

Question

Wenn ich die kritischen Stellen für Extrema einer Funktion

f: ℝ² → ℝ

suche und grad_f(x₀)  = 0 setzte, überprüfe ich doch nur die Richtungsableitungen in Richtung der Koordinaten-Achsen.

Kann es nicht sein, dass die Winkelhalbierende zw. den Achsen eine Steigung in x₀ hat?

Answer 1

nein das kann nicht sein, wenn \(grad_f(x_0) = 0\), denn die Richtungsableitung erhältst du ja bspw. durch das Skalarprodukt aus Gradient an der Stelle \(x_0\) und dem Richtungsvektor (sofern wir hier begründet durch die Thematik "Extrema" von einer total differenzierbaren Funktion ausgehen).

Gruß

Comments

Na klar, rechnerisch macht das jetzt Sinn. Würde ich die Richtungsableitung in Richtung  \( \vec { v } = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) bilden, dann wären  $$ \frac { \partial f }{ \partial x } \left( \vec { { x }_{ 0 } }  \right) =0\quad  und \quad \frac { \partial f }{ \partial y } \left( \vec { { x }_{ 0 } }  \right) =0\quad  $$ und dann auch die Richtungsableitung in Richtung \( \vec {v} \).

Also: \( 0\ast 1 + 0*1\ = 0 \quad \surd \).

Vorstellen kann ich mir das leider nicht ganz. Ist es nicht möglich, dass beispielsweise das Bild von \( f \) im 1. und 3. Qudranten der x-y-Ebene in einer Umgebung von \( {x}_{0} \) ein "Tal" hat, während der Wert auf den Achsen konstant ist?

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Hat sich erledigt. Hab's geschnallt: Ist einfach so. :)

Danke, nochmal.

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Gerne, beachte: Der Gradient zeigt immer in Richtung des "steilsten" Anstiegs.