Kugelvolumen Änderungsrate: Das Volumen einer Kugel nimmt mit einer Rate von 5 dm³/ min zu

Question

Das Volumen einer Kugel nimmt mit einer Rate von 5 dm³/ min zu. Wie große ist die Änderungsrate des Radius, wenn dieser gerade 3 dm beträgt?



Muss ich hier die Änderungsrate pro Minute berechnen? Ich tu mir schwer einen Anfang zu finden!

Answer 1

Ich würde das wie folgt rechnen, bin mir aber auch nicht ganz sicher:

V(t) = 5*t

r(V) = (3·v/(4·pi))^1/3

r(t) = (15·t/(4·pi))^1/3

r'(t) = (5/(36·pi·t²))^1/3

Wenn r = 3 dann ist V = 4/3 * pi * 3³ = 36pi und dann ist t = 36pi / 5 = 36/5*pi

r'(36/5*pi) = 5/(36·pi) = 0.04420970641 dm/min

Comments

Ich komme auf dasselbe Ergebnis wie Der_Mathecoach. Bei Bedarf kann ich meine Berechnungen auch hier einstellen.

mfg Georg

Answer 2

Ja, ich denke mal, dass die Änderungsrate pro Minute gesucht ist.

Wenn man nach einem Anfang sucht, guckt man am besten immer erst mal, wie die verschiedenen Größen (Radius und Volumen) in Zusammenhang stehen, also:

V = 4/3 π r³

und mit dem vorgegebenen Radius r = 3:

V = 4/3 π * 3³ = 36π

Wenn jetzt das Volumen von 36π mit einer Rate von 5 dm³/min zunimmt, bedeutet das ja nach einer Minute:

36π + 5 = 4/3 π (3 + x)³

wobei x für die Änderungsrate steht. Das löst man dann einfach nach x auf.

36π + 5 = 4/3 π (3 + x)³
27π + 15/4 = π * (3 + x)³
27 + 15/(4π) = (3 + x)³
3 + x = ³√(27 + 15/(4π))
x = ³√(27 + 15/(4π)) - 3 ≈ 0,0436

Die Änderungsrate für den Radius beträgt also (ich hoffe, ich hab keinen Fehler gemacht) etwa 0,0436 dm/min bzw. etwa 4,36 mm/min. :)

Comments

Die Änderungsrate ist ja eigentlich immer eine unendlich kleine Änderung. Daher hätte ich glaube ich anders gerechnet.