Was genau ist das Anfangswertproblem und wie kann man es auf eine DGL 1.Ordnung anwenden?

Question

ich verstehe irgendwie nicht wofür das Anfangswertproblem gut sein soll. Wenn ich z.b. die DGL 1.Ordnung: 0=y'-2y habe und y= e^2x * C ist. Bekomme ich dann mit Hilfe des Anfangswertproblems einen Wert für die Integrationskonstante C raus? Und wenn ja was hat mir das Ganze dann gebracht :D?

Answer 1

y= C*e^{2x} stimmt

Bekomme ich dann mit Hilfe des Anfangswertproblems einen Wert für die Konstante C raus

--------->ja

Diese Anfangswertbedingung ist meistens in der Aufgabe gegeben, z.B.

y(0)=1

Du hast dann:

1=C *e^{2*0}

1=C

->Lösung der Aufgabe:

y=e^{2x}

Comments

Um deine zweite Frage zu beantworten, was dir das Ganze bringt bzw. wofür Anfangswertprobleme gut sein sollen:

"Sehr viele" physikalischen Probleme in der Natur lassen sich nur per Differentialgleichung beschreiben. Da man jedoch häufig an dessen Lösung (unter gewissen Startbedingungen) interessiert ist, muss man diese eben lösen. Beispiele, die in der Schule auftauchen, sind Zerfallsprozesse, Auf-/Entladungen von Kondensatoren oder Schwingungen.

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Danke erstmal... Die Bedingung war nicht gegeben, aber ich habe auch schon ein paar Punkte genommen und eingesetzt und sogar auch deinen Punkt, aber was ich nicht so ganz verstehe ist, warum man genau diesen einen Punkt nehmen muss? Was bringt mir das Anfangswertproblem genau? Die Antworten dafür sind bestimmt ganz simpel, aber ich verstehe das trotzdem irgendwie nicht.

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Hallo

hier ein Link dazu:

http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe8/C5.htm

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Mhhh... ist immer noch nicht so ganz klar, aber vielleicht, wenn du mir erklärst, warum man nicht den Punkt y(0)=2 nehmen kann. Liegt das einfach nur daran das eine e-funktion im Normalfall die y-Achse bei 1 schneidet oder wie?

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Oook, die Frage hat sich erübrigt^^. Dankeschön.

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Stell dir einfach vor, du hast ein Pendel, das hin und her pendelt. Du suchst jetzt eine Funktion, die angibt, wo sich dein Pendel zu einer bestimmten Zeit aufhält.

Um die eigentliche Bewegung des Pendels (das hin und her schwingen) beschreiben zu können, brauchst du eine DGL. Die Lösung hat eine oder mehrere (in diesem Fall 2) Integrationskonstante(n).

Jetzt, nachdem wir *ALLGEMEIN* die DGL gelöst haben, also *ALLGEMEIN* das Schwingverhalten beschrieben haben, wollen wir eine konkrete Lösung haben. Wir erinnern uns, wir wollen beschreiben, wo sich das Pendel zu einer bestimmten Zeit aufhält. Das hängt natürlich davon ab, was wir für ein Pendel vor uns haben. Dieses kann z.B. zu Beginn ganz nach links oder ganz nach rechts ausgelenkt sein, oder irgendwas dazwischen. Es gibt somit unendlich viele Möglichkeiten. Wenn wir durch unsere Anfangsbedingungen jedoch festlegen, wo sich das Pendel zu einer bestimmten Zeit befand, haben wir eine einzigartige Funktion, die nicht mehr allgemein ist, sondern sich auf genau unser Pendel bezieht.

Hoffe das ist relativ anschaulich und verständlich.

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Jetzt habe ich es auf jeden Fall verstanden^^. Danke Yukawah :)