Bestimme die Funktionsgleichung einer Funktion 4. Grades

Question

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, hat den Extremwert (2/0). Die Fläche zwischen Kurve und der x-Achse beträgt 34,13333 FE. Bestimme die Funktionsgleichung.

Meine Bedingungen wären:

f´(2)=0
f (2)=0

und

$$ \int _{ 0 }^{ 2 }{ 34,1333 } $$

Stimmt das überhaupt? (man braucht doch nur 3 Bedingungen, da die Funktion symmetrisch ist, richtig?)

Answer 1

f(x) = a * (x - 2)^2 * (x + 2)^2 = a·x^4 - 8·a·x^2 + 16·a

F(x) = a·x^5/5 - 8·a·x^3/3 + 16·a·x

F(2) - F(0) = 34.13333 / 2 = 256/15

F(2) = a·2^5/5 - 8·a·2^3/3 + 16·a·2 = 256/15 --> a = 1

Damit lautet die Funktion

f(x) = (x - 2)^2 * (x + 2)^2 = x^4 - 8·x^2 + 16

Comments

Ich entschuldige mich schon mal im voraus, dass ich gleich klinge wie ein zurückgebliebenes Meerschweinchen von der Venus, aaaber ich habe gerade null Ahnung was du da gemacht hast. O_o

Deine Lösung ist definitiv richtig, doch der Lösungsweg könnte genauso gut auf altgriechisch dastehen.

Ich kenn das nur so:

zb. f (2)=0  16a+4c+1e=0

Es wäre total lieb, wenn du mir vl nur deine Bedingungen erläutern könntest.

(ja, ich bin wirklich kein Genie im Umgang mit Zahlen)

Danke schon mal im voraus =)

---

Du kannst auch machen. Funktion 4. Grades die Achsensymmetrisch ist

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

Nun weißt du noch

f(2) = 0 --> 16·a + 4·b + c = 0

f'(2) = 0 --> 32·a + 4·b = 0

Damit habe ich nur 2 Gleichungen und 3 Unbekannte. Also muss ich eine Unbekannte stehen lassen. Mach ich das also für a.

32·a + 4·b = 0 --> b = - 8·a

16·a + 4·b + c = 0
16·a + 4·(- 8·a) + c = 0 --> c = 16·a

Setz ich das in die Ausgangsfunktion ein

f(x) = ax^4 + bx^2 + c
f(x) = ax^4 + (- 8·a)x^2 + (16·a) = a·x^4 - 8·a·x^2 + 16·a

Damit habe ich im Grunde jetzt erst das heraus was ich oben in meiner Lösung über den Einzeiler gemacht habe :)

Also will ich dir mal meine erste Gleichung erklären. Wir haben ein Extrempunkt bei (2|0) bedeutet die x-Achse wird an der stelle 2 berührt. D.h. wir haben dort eine Doppelte Nullstelle (x - 2)^2. Symmetrisch muss bei -2 auch die x-Achse berührt werden. Also auch (x - 2)^2. Damit habe ich schon die Funktion 4. Grades. Kommt jetzt eigentlich nur noch ein Streck-Stauchfaktor dazu.

f(x) = a * (x - 2)² * (x + 2)²

^{Den Term muss man jetzt nur ausmultiplizieren um ihn schon Integrieren zu können}

f(x) = a·(x - 2)^2·(x + 2)^2
f(x) = a·((x - 2)·(x + 2))^2
f(x) = a·(x^2 - 4)^2
f(x) = a·(x^4 - 8·x^2 + 16)
f(x) = a·x^4 - 8·a·x^2 + 16·a

Ist das soweit jetzt klar ? Wie du den Ansatz machst ist letztendlich egal. Man kann ihn nur eventuell schon geschickt wählen das man weniger rechnen muss.

---

Jetzt kapier ich zumindest zum Teil, was du gemacht hast (:

Ich war nur etwas verwirrt, da ich das noch nie in meinem Leben wirklich ausgerechnet habe oder musste. Ich tipp einfach in die Matrix meines TR die Zahlen ein und der rechnet mir die Werte für a,b,c

Answer 2

du hast bei P(2|0) einen Extremwert. P ist also entweder ein Hoch oder Tiefpunkt, gleichzeitig aber auch eine Nullstelle des Graphen.

Da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist muss der Punkt P'(-2|0) die gleichen Eigenschaften wie der Punkt P erfüllen.

Als grobe Form der Funktionsgleichung kann man also schon einmal:

$$f(x)=a{ (x-2) }^{ 2 }{ (x+2) }^{ 2 }=a{ x }^{ 4 }-8ax²+16a$$

angeben.

Die Stammfunktion lautet dementsprechend;

$$ F(x)=\frac { a }{ 5 } { x }^{ 5 }-\frac { 8 }{ 3 } a{ x }^{ 3 }+16ax+C $$

$$ F(2)-F(-2)=34,1333 $$

a≈1

Gruß

Comments

Wäre das nicht genau das gleiche wie:

f´(2)=0    32a+4c+0e=0

f (2)=0  16a + 4c +1e=0

$$ \int _{ 0 }^{ 2 }{ 34,1333 } $$   

6,4a + 2,67c + 2e= 34,1333

Tut mir leid, dass ich so doof nachfragen muss, aber ich kenn das nur in der Schreibweise (mit nachfolgendem TR Missbrauch)

Hab das nie anders gelernt und kapier nicht so richtig was du da gemacht hast.

Danke schon mal im voraus (=

---

Ich weiß jetzt nicht genau was du meinst, aber vielleicht ja so:

f(x)=ax⁴+cx²+e -> f(2)=0=16a+4c+e

f'(x)=4ax³+2cx -> f'(2)=0=32a+4c

F(x)=(a/5)x⁵+(c/3)x³+ex

Jetzt musst du aber aufpassen die Integrationsgrenzen sind -2 und 2 (da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist):

$$ \int _{ -2 }^{ 2 }{ f(x)dx=F(2)-F(-2)=34,1333 }  $$

Jetzt hast du 3 unterschiedliche Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das heißt du kannst diese z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Gruß

---

ahhh jetzt fiel der Groschen bei mir. Meine Grenzen stimmen nicht xD

Vielen lieben Dank (: