Partialbruchzerlegung, muss ich komlexe Zahlen verwenden oder habe ich mich verrechnet?

Question

Ich muss bei den folgenden aufgaben eine Partialbruchzerlegung durchführen, beim berechnen der Nullstellen bzw. ablesen, ist mir aufgefallen, dass ich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen muss und das geht nicht im Bereich der reellen Zahlen. Muss ich mit komplexen Zahlen weiterrechnen?

1. f(x) = (x³ + 4x + 3) /(x² + 1)(x² + 4)

2. f(x) = (2x³ + x² + 5x + 1)/ (x² + 2)²

1.  x^4 + 5 x^2 +4 = 0   u= x^2  ⇒ u^2+ 5 u + 4 = 0  pq   -2,5 +- √(6,25-4)  u1 = -1  u2= -4 Jetzt müsste ich eigentlich die Wurzel ziehen, dass geht allerdings nicht im Bereich der reellen Zahlen.

2. u1,u2= -2

Answer 1

Wenn du unbedingt Terme der Form \( (x-a)^j \) im Nenner haben willst, dann musst du eventuell mit komplexen Zahlen rechnen. Du könntest dich mit Nennern der Form \( (x^2+px+q)^j \) begnügen. Dann brauchst du keine komplexen Zahlen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Answer 2

Schau mal dort unter

Partialbrüche mit komplexen Nullstellen

https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Reellwertige_Funktionen

Answer 3

1. f(x) = (x³ + 4x + 3) /(x² + 1)(x² + 4)

Ansatz:

(x³ + 4x + 3) /(x² + 1)(x² + 4) =(Ax+B)/(x^2+1) +(Cx+D)/(x^2+4)

Lösung der Koeffizienten zum Vergleich:

A=B=1

C=0

D=-1