Ungleichungen mit Beträgen: |2x - |x+y-2|| < 2 in R2 einzeichnen.

Question

Answer 1

| 2x - | x+y-2| | < 2
1. Fall   x+y-2 ≥ 0  also  y ≥ -x +2 Das wären alles Punkte oberhalb und auf der Geraden y=-x+2
dafür gilt dann
| 2x - | x+y-2| | < 2
| 2x-x-y+2| < 2
| x - y +2 | < 2     
       1. Unterfall     x - y +2    ≥ 0  
                                        x+2    ≥  y also alle Punkte auf und unterhalb der Geraden y=x+2
                                
        Für diese soll dann gelten   | x - y +2 | < 2   
                                                              x - y + 2 < 2
                                                                x < y   also alles oberhalb der Geraden y=x
Dann hast bis hierhin: oberhalb von rot und unterhalb von grün oberhalb von rot,
also so ein Streifen zwischen 2 Parallelen
Plotlux öffnen

f₁(x) = xf₂(x) = -x+2f₃(x) = x+2

Jetzt den 2. Unterfall:   x - y +2    < 0   also   y > x+2 also oberhalb von y=x+2
  Für diese soll dann gelten   | x - y +2 | < 2   
                                                              -x + y - 2 < 2
                                                                y <  x+4    also alles oberhalb der Geraden y=x+4
                                                  Das ist durch   oberhalb von y=x+2  schon abgedeckt
                     Also in diesem Unterfall alles  oberhalb von rot und oberhalb von grün
2. Fall ......

Comments

  y <  x+4    also alles oberhalb der Geraden y=x+4

Verstehe diese Aussage nicht ganz, weil sie nicht zu den anderen Aussagen passt. Müsste es hier nicht heissen, alles unterhalb der geraden?

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Hast du recht, hab mich vertan.

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| 2x - | x+y-2| | < 2

Ist im 2. Fall = |2x-|-x-y+2| >2 --> 3x+y-2>2

oder:

|2x-x-y+2| --> -x+y-2>2 ??

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2. Fall x+y-2 <  0   also | x+y-2 | = - x - y + 2    

damit ist   | 2x - | x+y-2| | < 2

äquivalent zu  | 2x - ( - x - y + 2     )| < 2

                         | 2x + x + y - 2 | < 2

                          | 3x + y - 2 | < 2

und dann 1. Unterfall   3x + y - 2 ≥ 0  etc.

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und dann  2. Unterfall   3x + y - 2 < 0   etc..