Ermitteln einer Funktion: Kreis mit Radius 1, Punkt im ersten Quadranten, Tangente und Mittelpunkt

Question

Es sei k ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung 0 einen kartesischen x-y Koordinatensystems ist.
Der Punkt P liege im ersten Quadranten dieses Koordinatensystems auf k.
Die Tangente im Punkt P an den Kreis k schneide die x-und y achse in den Punkten S bzw. T.
Der Mittelpunkt der Strecke ST sei M.

Wenn sich der Punkt P auf dem Teil des Kreises k bewegt, der im ersten Quadranten liegt, dann bewegt sich der Punkt M = M(x,y) auf einer Kurve.
Man ermittle eine Funktion f mit einer Gleichung y=f(x), deren graph diese Kurve ist.

 

Zwei ideen habe ich schon. ich weiß aber nicht, ob ich damit auch zur lösung komme. ich habe gedacht, ich könnte die tangentensteigung ausrechnen und dann weiterrechnen, aber dafür fehlen mir glaub ich die angaben, oder ich wollte den ursprung mit den punkten P und S verbinden und dann sinus, cosinus und tangens anwenden.

Wäre super nett wenn ihr mir helfen könntet :)

Comments

Gleiche Frage hier: Ermittle die Funktion, deren Graph diese Kurve ist (Kreis)

Answer 1

Das macht man am besten schrittweise.

Der Kreis wird im ersten Quadranten durch die Funktion K(x) = √(1-x²) beschrieben.

Die Tangente an den Kreis in diesem Punkt (p_x, p_y) ist eine Funktion der Form t(x) = ax+b, wobei

$$ \begin{array} { l } { t \left( p _ { x } \right) = K \left( p _ { x } \right) = p _ { y } = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } \\ { t ^ { \prime } ( x ) = K^ { \prime } \left( p _ { x } \right) \quad \forall x \in R } \end{array} \\ \begin{array} { l } { K ^ { \prime } ( x ) = \frac { - x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \\ { \Rightarrow K ^ { \prime } \left( p _ { x } \right) = \frac { - p _ { x } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } } \end{array} $$

Insgesamt lautet das Gleichungssystem für die Tangente im Punkt P also:

$$ \begin{array} { l } { a p _ { x } + b = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } \quad (I) \\ { a = - \frac { p _ { x } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } } \quad \qquad (II) \end{array} $$

Setzt man (II) in (I) ein, ergibt sich:

$$ - \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } + b = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } \\ b = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } $$

Die Tangente besitzt also die Gleichung:

$$ t ( x ) = - x \frac { p _ { x } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } + \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } $$

Der y-Achsenabschnitt ist trivialerweise

$$ b = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } $$

Die Nullstelle erhält man indem man t(x₀)=0 setzt:

$$ 0 = - x _ { 0 } \frac { p _ { x } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } + \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } \\ x _ { 0 } \frac { p _ { x } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } = \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } \quad | \cdot \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } \\ \begin{array} { l } { x _ { 0 } p _ { x } = 1 - p _ { x } ^ { 2 } + p _ { x } ^ { 2 } } \\ { x _ { 0 } = \frac { 1 } { p _ { x } } } \end{array} $$

Die beiden Punkte lauten also:

$$ X \left( \frac { 1 } { p _ { x } } , 0 \right) \\ Y \left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - p _ { x } ^ { 2 } } } \right) \right) $$

Der Mittelpunkt der beiden kann gemäß ((x₁+x₂)/2|(y₁+y₂)/2) bestimmt werden.

Er lautet also:

M(1/2p_x | (√(1-p_x²)+p_x²/√(1-p_x²))/2)

Wählt man nun x=1/(2p_x), kann man das umstellen zu:

p_x = 1/(2x)

Eingesetzt in die y-Komponente folgt damit:

y(x) = (√(1-1/(4x²)) + 1/(4x²√(1-1/(4x²))))/2

Huihuihui. :)

Ich habe dazu noch ein kleines Bild angefertigt, dass die Situation darstellt. Alle Bezeichnung sind wie in der Lösung gewählt.

In Blau die Tangente, in grün die beschriebene Kurve.

Durch Verschieben des Reglers für p_x kann ich im Programm (im Bild natürlich nicht) demonstrieren, dass der Punkt sich tatsächlich auf der Kurve bewegt.

Falls das übrigens eine Matheolympiade-Aufgabe ist, würde ich dir raten, dir die Lösung sehr genau anzusehen und nicht einfach nur so hinzunehmen. Das wird bei den späteren Aufgaben nicht unbedingt einfacher.

Comments

 

Spannender Lösungsweg. 2 Vorzeichen versteh ich nicht. Ich hätte an den  4 gelben Stellen einfach +. Hebt sich aber wieder auf.

-x₀*p_x/sqrt(1-p_x²) = p_x²/sqrt(1-p_x²) + sqrt(1-p_x²)  | * sqrt(1-p_x²)

-x₀*p_x = p_x² + 1 - p_x²

-x₀ = - 1/p_x

x₀ = 1/p_x

---

Ah, das ist mein Fehler. Ich hatte für die Steigung erst das falsche Vorzeichen und hab sie dann überall ersetzt, da hätte es nicht sein müssen.

---

Deine Lösung ist sehr ansprechend. Ich bin gar nicht auf die Idee gekommen, es so zu lösen. Ich habe es mit Additionstheoremen gemacht. Ich hoffe, das war auch okay.