Welche Tripel sind Funktionen? Welche Schritte oder Überlegungen sind nötig?

Question

Angabe:

Untersuchen Sie, für welche Mengen F ⊆ X x Y die Tripel (X, Y, F) Funktionen sind. Falls F keine Funktion darstellt, ändern Sie F so ab, dass wir eine Funktion erhalten. (Dies ist auf verschiedene Weisen möglich.) Sind diese Funktionen injektiv, bijektiv oder subjektiv?

a) X = {♣,♠,◊,♥} , Y= {♂,♀,∇}, F = {(♣∇),(◊,◊),(♥,∇),(♥,♀)}, wobei ♣,♠,◊,♥,♂,♀,∇ paarweise verschiedene Symbole sind

b) X = Y = {0,1,2,3,4} ⊂ ℤ, F = {(i,j)∈X x Y Ι i = j²}

c) X = Y = {2,4,6,8} ⊂ ℤ, F = {(a,b) ∈ X x Y Ι a = ab/2}

d) X = ℤ\{0}, Y = ℤ≥₀ = {x∈ℤ Ι x ≥ 0}, F = {(a,b) ∈ X x Y : b = 2ΙaΙ - (a+ΙaΙ)/(2ΙaΙ)}

Leider habe ich das nie erklärt bekommen und an der Uni wird das vorausgesetzt. Ich habe schon viel recherchiert aber ich weiß nicht wie ich es anwenden soll.

Das einzige was mir aufgefallen ist bei a), dass (◊,◊) kein Element von F sein kann weil ◊ ∉ X.

Bitte helft mir wie man so etwas lösen kann. Danke

Answer 1

a) keine Funktion, da zu dem Herz zwei verschiedene Paare mit

1. Komponente Herz gehören.

in einer Komp. Herz durch Pik ersetzen

X = Y = {0,1,2,3,4} ⊂ ℤ, F = {(i,j)∈X x Y Ι i = j²}

keine Funktion , da nicht zu jedem i aus X ein Paar in F existiert.

abändern:   j statt j^2 .

X = Y = {2,4,6,8} ⊂ ℤ, F = {(a,b) ∈ X x Y Ι a = ab/2}

ist Funktion, konstante Fkt. mit Wert 2, alle b sind 2

d) muss man genau betrachten: zu jedem Element von X

muss es genau ein Paar in F geben.

Comments

Okay ein paar Fragen hätte ich dazu trotzdem noch:

1.) Warum macht das (◊,◊) nichts aus obwohl ein Karo nicht in Y vorkommt? Aja und die Funktion ist surjektiv oder?

2.)Sind eig. i,j und a,b synonyme für x,y?

3.) Ich kann nicht heraussehen warum b) keine Funktion ist bzw. wie sieht man, dass nicht zu jedem i ein Partner existiert?

4.) Könntest du d genauer erläutern?

Ich danke dir. In ein paar Jahren bin hoffentlich auch ich so weit, dass ich anderen weiterhelfen kann. Unbeschreiblich wie dankbar ich dafür bin.

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1.) Warum macht das (◊,◊) nichts aus obwohl ein Karo nicht in Y vorkommt? Aja und die Funktion ist surjektiv oder?

OH, das hatte ich ganz übersehen, da hast du recht, das widerspricht auch der

Funktionseigenschaft.

2.)Sind eig. i,j und a,b synonyme für x,y?  Ja, kannst du nennen wie du willst.

3.) Ich kann nicht heraussehen warum b) keine Funktion ist bzw. wie sieht man, dass nicht zu jedem i ein Partner existiert?

Es soll ja i=j^2 sein. Das geht mit i=2 und 3 nicht, denn dann müsste ja j sowas sein wie

wurzel(2) oder wurzel(3), das kommt aber in der gegebenen Menge nicht vor.

4.) Könntest du d genauer erläutern? 

b = 2ΙaΙ - (a+ΙaΙ)/(2ΙaΙ)

Damit ist zu jedem a ein b definiert. Jetzt muss man schauen, ob die b's alle

auch in Y liegen. dazu muss man den Term   2ΙaΙ - (a+ΙaΙ)/(2ΙaΙ) studieren:

Für positives a ist das  2a - ( 2a / 2a ) = 2a-1 also immer positiv und es kommen

alle positiven ungeraden Zahl für b in Frage.

Für negatives a ist is es -2a - 0 = -2a und wenn a alle negativen Zahlen durchläuft,

kommen für b alle positiven geraden Zahlen raus.

Es ist also wirklich eine Funktion, die ist injektiv aber weil 0 nie für

b rauskommt nicht surjektiv.

Und die Funktion von c ist weder inj. noch surj.

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Ich verstehe es ;D ;D

Answer 2

Hi, hier ein einfacher und systematischer begrifflicher Zugang:

Eine linksvollständige und rechtseindeutige Relation heißt Funktion.

Eine linkseindeutige Funktion heißt injektiv.

Eine rechtsvollständige Funktion heißt surjektiv.

Eine sowohl linkseindeutige als auch rechtsvollständige Funktion heißt bijektiv.