Ich zeige den Induktionsschritt unter der Voraussetzung, dass n > 5 ist.
Aus der binomischen Formel folgt:
(n + 1)5 = n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + (5n + 1)
Aus n > 5 folgt:
n5 = n * n4 > 5n4
n5 = n2 * n3 > 25 * n3 > 10n3
n5 = n3 * n2 > 125 * n2 > 10n2
n5 = n4 * n > 625 * n > 6n = 5n + n > 5n + 1
Die binomische Formel liefert also auf der rechten Seite 5 Summanden (bei obiger Klammersetzung). Der erste Summand ist gleich n5 und alle anderen Summanden sind kleiner als n5. Deshalb muss die Summe insgesamt und somit auch (n + 1)5 kleiner als 5n5 sein:
5n5 > (n + 1)5
Nach der Induktionsvoraussetzung gilt:
5n > n5 | * 5
5 * 5n > 5n5
Somit gilt auch:
5(n + 1) = 5 * 5n > 5n5 > (n + 1)5
w.z.b.w.