wie zeige ich, dass 5^n > n^5 ist?

Question

Ich muss die vollständige Induktion benutzen.
Den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung kann ich. Ich habe lediglich Probleme beim Induktionsschritt.

Als Ansatz habe ich schon

∑5ⁿ  + 5ⁿ⁺¹ > n⁵+(n+1)⁵
   5ⁿ+5*5ⁿ > n⁵ +(n+1)⁵
   5ⁿ *6 > n⁵ +(n+1)⁵


 Aber wie forme ich das jetzt weiter um?

Comments

Was genau sollst du denn zeigen?

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Formulier die Frage um. Obige Ungleichung gilt für alle n > 5.

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was ich zeigen soll hab ich hingeschrieben.
Mag sein, dass es auch für alle n gilt, ich soll es aber so zeigen.

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In der Antwort unten wurde bereits gezeigt, dass die Ungleichung nicht stimmt. Vermutlich gibt es Einschränkungen wie über mir geschrieben ("n>5").

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ah ja stimmt, sorry :'D hab vergessen für n>5 hinzuschreiben.

Mist!

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Kein Problem, passiert hier sehr oft, dass Aufgaben nicht ganz oder nicht korrekt wiedergegeben werden. Deswegen fragen hier einige erstmal lieber nach, statt eine mehr oder weniger sinnlose Antwort zu geben. :P

Du hast es wahrscheinlich schon gesehen, aber die Antwort von Creud sollte (hab es nur überflogen) dein Problem lösen. 

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okay ;)
ja ich guck nochmal drüber und denk auch dass mir das was hilft.

Answer 1

Ich zeige den Induktionsschritt unter der Voraussetzung, dass n > 5 ist.

Aus der binomischen Formel folgt:

(n + 1)⁵ = n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + (5n + 1)

Aus n > 5 folgt:

n⁵ = n * n⁴ > 5n⁴

n⁵ = n² * n³ > 25 * n³ > 10n³

n⁵ = n³ * n² > 125 * n² > 10n²

n⁵ = n⁴ * n > 625 * n > 6n = 5n + n > 5n + 1

Die binomische Formel liefert also auf der rechten Seite 5 Summanden (bei obiger Klammersetzung). Der erste Summand ist gleich n⁵ und alle anderen Summanden sind kleiner als n⁵. Deshalb muss die Summe insgesamt und somit auch (n + 1)⁵ kleiner als 5n⁵ sein:

5n⁵ > (n + 1)⁵

Nach der Induktionsvoraussetzung gilt:

5ⁿ > n⁵               | * 5

5 * 5ⁿ > 5n⁵

Somit gilt auch:

5^{(n + 1)} = 5 * 5ⁿ > 5n⁵ > (n + 1)⁵

w.z.b.w.

Answer 2

$$ 5^n \gt n^5 $$
Beweis, dass die Annahme falsch ist:
$$ n=2 $$$$ 5^2 \gt 2^5 $$
$$ 25 \gt 32 $$