Was sind die Werte der Variablen a, b und c?

Question

Es soll eine Gleichung der Parabel durch die Punkte A,B und C bestimmt werden.

A (0.5/1), B (-1/4), C (2/7)

Bitte veranschaulichen Sie Ihre Rechnung noch einmal!

 

Mein Ergebnis wäre : a=2,25 ; b=-0,75 ; c=-0,5

Comments

Mit dem Funktionsplot kann man das Resultat einfach überprüfen.

Ich hab mal blau dein Resultat und rot das Resultat von Capricorn und Julian eingegeben.

Der Punkt (2/7) liegt hier leider nicht auf der Skala. Die andern beiden liegen klar auf der roten Parabel.

Answer 1

Ich habe a=2, b = -1 und c= 1 bekommen.

Die Gleichung heisst   f(x) = 2x² - x + 1

Lösungsweg: Die Parabelgleichung 3 * schreiben und jeweils einer der Punkte A,B,C mit x und y einsetzen. Dann das Gleichungssystem mit den Unbekannten a,b und c lösen.

Answer 2

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet:
f(x) = ax²+bx+c

 

Die Gleichung soll nun durch die drei Punkte gehen, also muss, wenn man für x den den x-Wert des Punktes einsetzt, für f(x) der y-Wert herauskommen. Daraus erhält man drei Gleichungen:

f(0.5)=1: a*0.5²+b*0.5+c = 1 (I)

f(-1)=4: a*(-1)²+b*(-1)+c = 4 (II)

f(2)=7: a*2²+b*2+c = 7 (III)

Ausgerechnet erhält man die drei Gleichungen:

(I) 0.25a + 0.5b +c = 1

(II) a - b + c = 4

(III) 4a + 2b + c = 7

 

Ich löse solche Gleichungen gerne mit dem Additions/Subtraktionsverfahren, indem ich Gleichungen voneinander abziehe/zueinander addiere. Hier kann man z.B. (II)-(I) und (III)-(II) rechnen, um die beiden folgenden Gleichungen zu erhalten:
(II)-(I):  a-b+c - (0.25a+0.5b+c) = 4-1

0.75a - 1.5b = 3 |*4

3a - 6b = 12 | :3

a - 2b = 4 (IV)

 

(III)-(II): 4a+2b+c -(a-b+c) = 7-4

3a + 3b = 3 | :3

a + b = 1 (V)

Rechnet man nun noch (V)-(IV) erhält man eine Gleichung, in der nur noch b vorkommt:

(V)-(IV): a+b -(a-2b) = 1-4

3b = -3

b = -1

(V)⇒ a = 2

(II)⇒ c = 4+b-a = 1

 

Die Lösung lautet also:
f(x) = 2 x² - x + 1