Question

Sei R eine Aquivalenzrelation auf X. Zeigen Sie: Es gibt eine Menge Y und eine Funktion f,

sodass mit der in Beispiel 29 de nierten Relation R_f die Gleichheit R = R_f gilt.

Comments

Müssen wir erraten, was Beispiel 29 ist? Oder doch eher in unsere Glaskugel schauen?

Answer 1

Beispiel 29 war wohl

Sei f : X→ Y eine Funktion. Wir definieren eine Relation R_f auf X:
R_f = f(x₁; x₂) ∈ X x X: f(x₁) = f(x₂)g:Zeigen Sie, dass R_f eine Aquivalenzrelation auf X ist.

Hier nun:
Sei R eine Aquivalenzrelation auf X. Zeigen Sie: Es gibt eine Menge Y und eine Funktion f,
sodass mit der in Beispiel 29 definierten Relation R_f die Gleichheit R = R_f gilt.

Nimm für Y die Menge aller Teilmengen von X, also P(X) und dann

f : X → P(X) und für alle x aus X

f(x) = x_quer = Die Äquivalenzklasse von R, in der x liegt.

Dann gilt für R_f   = Menge aller Paare (x1;x2) mit f(x1)=f(x2) ,

also genau alle Paare von Elmenten, die in der gleichen Klasse von R liegen,

also R_f = R