In einem Körper mit genau drei verschiedenen Elementen...

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:
"Zeigen Sie: In einem Körper mit genau drei verschiedenen Elementen 0, 1 und a sind Addition und Multiplikation eindeutig bestimmt. Geben Sie diese in Form von zwei Tabellen an".

Wie ich dies tabellarisch auflisten soll ist klar:

+       0       1        a

0       0       1        a

1       1       0       a+1

a      a      a+1     a+a


Mir persönlich geht es um die rot markierten "Lösungen". In der Aufgabe steht, dass
das neutrale Element 0, das Element 1 und das Element a eindeutig bestimmt sind.

Ich weiß nicht ob die 0 richtig ist, dennoch macht es für mich Sinn, da wir ja von einer
zwei nichts wissen. Und eine ungerade Zahl (1) addiert mit einer ungeraden Zahl (1)
wäre in diesem Fall ja 0, da 0 gerade.

Gelten die restlichen Lösungen für welche rot markiert sind?

, Florian T. S. :-)

Comments

Es kann nicht 1 + 1 = 0 sein.

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ich hätte jetzt deinen farbigen Bereich mit

a 0

0 1

ergänzt.

Das ist aber keine Antwort. Nur ein Kommentar. Man muss die Eigenschaften der Addition in Körpern durchchecken.

( a+1 , a+a , 1+a darfst du nicht einfach so stehen lassen.)

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1+1=0 kann sehr wohl sein, wenn wir noch nicht wissen, dass eine zwei existiert.

An Lu:
Mhmmm könntest du mir einen kleinen Ansatz geben, wie ich da verfahren kann?

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Wie wär's mit a = 2 ?

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Wieso a = 2?

Mich bringt die Aussage "genau drei verschiedene Elemente" durcheinander, da ich nicht weis welche Menge überhaupt im Körper vorhanden ist. Wäre es die Menge der natürlichen Zahlen, würde selbstverständlich 1 + 1 = 2 folgen.

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Wenn dein Körper nur 2 Elemente hätte, wäre 1+1 = 0.

Bei 3 Elementen geht das vermutlich nicht.

Obiges wie gesagt "keine Antwort" nur eine Vermutung. Lies mal: https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper

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Es spielt keinerlei Rolle wie die Elemente heißen, ob nun 0, 1 und 2 oder Tick Trick und Track. Falls aber 0 das neutrale Element bezüglich Addition sein soll, dann hat der Gast natürlich vollkommen recht, dass 1+1 nicht 0 sein kann.

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Dankeschön, jetzt habe ich es verstanden. Ich war etwas durcheinander und hatte noch die Vorlesung mit "1+1=0" im Kopf (War eine Menge mit nur zwei Elementen).

:-)

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könntest du vielleicht deine komplette lösung noch posten?

arbeite mich in ana ein und würde gerne etwas ausgearbeitetes zum nachvollziehen haben

Answer 1

0 Ist ihre eigene Gegenzahl. Wenn 1+1=0 ist, dann ist auch 1 ihre eigene Gegenzahl. In diesem Fall muss auch a ihre eigene Gegenzahl sein, also a+a=0.

Jetzt stellt sich die Frage nach a+1.

* Ist a+1=1, dann ist a neutral bei Addition. Geht aber nicht, da 0 neutral bei Addition ist.

* Ist a+1=0, dann ist 1 Gegenzahl von a. Geht aber nicht, da a Gegenzahl von a ist.

* Ist a+1=a, dann ist 1 neutral bei Addition. Geht aber nicht, da 0 neutral bei Addition ist.

1+1=0 ist also keine gute Idee, wenn man einen Körper haben will.

Comments

Wäre

+       0       1        a

0       0       1        a

1       1       2       a+1

a      a      a+1     a+a

Somit korrekt? Bzw. muss ich dies noch für die Elemente zeigen?
Da in der Aufgabe nur steht "Geben Sie diese in Form von zwei Tabellen an".

1 + 0 würde ich zum Beispiel so beweisen:
1 = 1 + 0 = 1 + 1 + (-1) = 1 + 0 = 1.

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2∉{0,1,a}. Damit qualifiziert sich + nicht als zweistellige Verknüpfung K×K→K, die ein Körper K benötigt. Versuch's mal mit 1+1=a.

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Meine Rechnung:
1 + 1 = a = a + 0 = a + (1 - 1) = a + (1 + 0) - (1 + 0) = a + 1 - 1 + 0 - 0 = a.

Mich stört nur der Anfang, da ich ja gleich behaupte 1 + 1 = a.

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Man könnte auf die Idee kommen, 2=a festzulegen. Dann wäre 1+1=2 in Ordnung. Allerdings sind 0, 1 und a vorerst nur Namen für Elemente einer Menge. Weder muss 0 das neutrale Element der Addition sein, noch 1 das neutrale Element der Multiplikation. Diese Bedeutung bekommen die Elemente erst durch die von dir zu erstellenden Additions- und Multiplikationstafeln.

In diesem Sinne ist es überflüssig (und etwas seltsam), dem Element a mittels 2=a einen weiteren Namen zu geben.

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> da ich ja gleich behaupte 1 + 1 = a.

Deine Aufgabe ist zweierlei:

1. Aus {0,1,a} einen Körper zu konstruieren. Bei dieser Teilaufgabe ist es dein gutes Recht, 1 + 1 = a festzulegen. Es ist keine Behauptung.
2. Beweisen, dass dein konstruierter Körper der einzige mit 3 Elementen ist. Du musst also zeigen, dass jede andere Festlegung nicht zu einem Körper führen kann.

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Ein Körper sollte ein neutrales der Multiplikation und ein neutrales Element der Addition enthalten. Die werden in der Regel gleich in der Definition mit 1 (manchmal E oder I )  und 0 bezeichnet. Aber die Symbole sind völlig willkürlich.

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- Erledigt -

Alles klar, dann versuche ich mich mal ran das zu beweisen :-)

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Zeige vielleicht, dass sowohl 1+1 = 0 als auch 1+1=1 auf einen Widerspruch führen.

So bleibt dann nur noch 1+1 = a festzulegen. Und du schaust, ob sich daraus der Rest widerspruchsfrei ausfüllen lässt.

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Für 1 + 1 = 0 bin ich so vorgegangen:

1 + 1 = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 = 1 + 0 + 1 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 + 0 + 0 = 0.
Für alle Zahlen gilt jedoch, dass 0 das neutrale Element ist und es gilt x + 0 = x.
Somit muss auch gelten, 1 + 0 = 1. Daher kann 1 + 1 nicht gleich 0 sein.

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Zu 1 + 1 = 1:
Aus Umformung von 1 + 1 = 1 erfolgt 1 = 1 - 1, also 1 = 0. Dies ist ein Widerspruch,
da es nur ein neutrales Element existieren darf, nämlich die Null.

Annahme: Wäre die eins ein neutrales Element, dann würde 1 + 1 = 0 folgen.
Da in Schritt eins gezeigt wurde, dass 1 + 0 = 1 ergibt, kann nur 1 + 1 ≠ 0,
da 1 kein neutrales Element ist.

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Das Zweite leuchtet ein, das Erste scheint mir etwas kompliziert ausgedrückt. Mal schauen, was Oswald dazu meint.

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Eventuell könnte man das Erste noch so zeigen:

Sei 1 + 1 = 0
Dann würde aus Umformung 1 = -1 erfolgen. Jedoch kann eine positive Zahl
nicht gleichzeitig ihre negative Zahl sein. Somit kann aus 1 + 1 nicht das
neutrale Element erfolgen.

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> Eventuell könnte man das Erste noch so zeigen

Das Erste ist schon gezeigt, und zwar in meiner Antwort. Offen ist nur noch, was a+1 und a+a sein sollen.

> Jedoch kann eine positive Zahl nicht gleichzeitig ihre negative Zahl sein.

Von positiv und negativ zu reden macht noch keinen Sinn. Dazu müsste man die Elemente des Körpers der Größe nach ordnen können. Diese Ordnung muss mit der Addition "verträglich" sein. Was "verträglich" genau bedeutet lernst du noch, aber (Spoiler Alert) endliche Körper können nicht angeordnet werden.

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Die Frage, welche beantwortet werden soll: Was ist a + 1?
Es gilt die Bedingung (i), dass a + 1 ungleich 1 ist.
Weiterhin gilt, dass a = 1 + 1 ist.
Als nächstes wird a + 1 untersucht:
a + 1 = (1 + 1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 1 + (1 + 1) = 1 + a.
Aufgrund des Kommutativgesetzes gilt, dass a + 1 gleich 1+a ist.
Aus der Umformung folgt, dass a + 1 = 1 + 1 + 1 ist.

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Sei der Schritt "Was ist a + 1?" Schritt 1.

Aus den Gesetzen (i), (ii) und (iii) folgt, dass a + a = 0 keinen Sinn
machen würde. Zudem folgt aus Schritt 1, dass a gleich 1 + 1 ist.
Im nächsten Schritt wird gezeigt, wofür a + a steht.
a + a = (1 + 1) + (1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = a + a
q.e.d (??)

Ich bearbeite zusätzliche ein Buch, "Wie man mathematisch denkt",
dort wurde gerade gelehrt, dass es wichtig ist, seine Schritte
eindeutig zu beschreiben. Dies wurde mir dann sehr deutlich,
als ich eine Aufgabe eines Studenten korrigieren sollte.
Die Schritte waren so durcheinander, dass man erst einmal
verstehen musste, wie der Student vorgegangen ist.
War eine tolle Übung!

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Bei a*a muss man dann genauso fortfahren nehme ich an? Da die Regeln für die 0, 1 und a ja schon festlegen und nur a*a noch unbekannt ist?

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Richtig.

Wichtig: Wenn du die Tabellen fertig hast, dann musst du noch nachweisen, dass das Distributivgesetz gilt.

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Für das Distributivgesetz werde ich dann die vollständige Induktion nutzen.

Alles klar :-)

Vielen Dank oswald

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Vollständige Induktion halte ich bei drei Elementen für Overkill.

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Stimmt ich war gerade etwas durch die andere Aufgabe (so ähnlich)
voll im v.i. Modus :-D Dann kann ich ja einfach die drei Elemente als
a, b und c definieren, dann das Distributivgesetz anwenden, und so
umforen, dass die rechte Seite, das auf der linke Seite ergibt :-)

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Um das Distributivgesetz zu beweisen darfst du das Distributivgesetz nicht anwenden.

Du musst für jede Belegung der Variablen r,s,t zeigen, dass (r+s)·t = r·t + s·t ist.

Beispiel.

• r=0, s=0, t=0.
  Dann ist (r+s)·t=(0+0)·0=0·0=0 und r·t + s·t = 0·0+0·0=0+0=0.
• r=0, s=0, t=1.
  Dann ist (r+s)·t=(0+0)·1=0·1=0 und r·t + s·t = 0·1+0·1=0+0=0.
• r=0, s=1, t=0.
  Dann ist (r+s)·t=(0+1)·0=1·0=0 und r·t + s·t = 0·0+1·0=0+0=0.

Das liefert 27 Belegungen. Mittels Kommutativgesetz und sonstigen Erkenntnissen über Körper (insb k·0 = 0 und k·1 = 1 ∀k) lässt sich die Anzahl auf ein erträgliches Maß reduzieren.

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27 Belegungen? Das hat der Professor also damit gemeint, als er gesagt hat,
man muss insgesamt 80 Belegungen machen, er werde sich aber nicht die
Mühe machen alle zu notieren :-D Naja, 27 gehen ja noch :-D

Vielen Dank oswald :-)

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Hey Oswald,

ich habe eine erneute Frage, da morgen Zettelabgabe ist. Was ist denn a+1 und a+a, sowie a*a?

Denn a+1 ist ja gar nicht in unserem Körper enthalten, also muss dies a oder 1 sein? Denn wir haben ja nur die drei Elemente 0, 1 und a.

:-)

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Lemma. Sei (G, •,^-1) eine Gruppe und g∈G. Dann ist die Abbildung f_g: G→G, x↦x•g bijektiv.

Beweis. Sei y∈G. Dann ist f_g(y•g^-1)=y•g^-1•g=y also ist f_g surjektiv.

Sei x,x'∈G mit f_g(x)=f_g(x'). Dann ist f_g(x)•g^-1=f_g(x')•g^-1, also x•g•g^-1 = x'•g•g^-1 und somit x=x'. f_g ist also auch inektiv.

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In jeder Spalte der Verknüpfungstabelle muss also jedes Element des Körpers vorkommen. Das schränkt die Wahl der Belegung von a+1, a+a und a*a deutlich ein.

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Alles klar. Ich habe mit schon gewundert, da a + 1 z.B. im Körper gar nicht enthalten ist :-)

Dankeschön oswald

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Hi Oswald,

manche waren heute der Meinung 1 + a = 0. Also a wäre das Inverse von 1, damit a = -1. Gefolgert wurde dies aus 0 ≠ 1 => a = 0 + a ≠ 1 + a und 0 ≠ a => 1 = 1 + 0 ≠ 1 + a.

Wie kann das sein, wenn wir gesagt haben, dass 1 + 1 = a ist? Das macht für mich keinen Sinn.

Bemerkung: 0, 1 und a waren ja bekanntlich die einzigen Elemente.

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1+0 = 1

1+1 = a

Dann muss 1+a zwangsläufig = 0 sein, wegen der Surjektivitiät der Addition, die ich in meinem Lemma gezeigt habe. Und auch wenn man dieses Lemma ignoriert braucht die 1 immer noch ein inverses Element bezüglich der Addition.

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Stimmt. Jetzt hat sich die Frage endgültig erledigt :-D Immerhin habe ich es nun komplett verstanden.

Danke für alle deine Rückantworten oswald, weis ich zu schätzen  :-)