jeden Vektor als Linearkombination darstellen

Question

Ich habe ein Problem mit den Linearkombinationen.

Es sei Vektorraum=R^3

ich habe die Vektoren v1=(1,1,2), v2=(-1,1,1), v3=(0,3,L)

Um zu zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist, muss ich ja zeigen, dass

Span(v1,v2,v3) = V gibt, wie zeige ich aber, dass diese drei Vektoren ein Erzeugendensystem sind, also dass sie als Linearkombinationen alles vom Vekorraum darstellen?

Intuitiv ist es mir klar, aber ich weiss nicht wie ich es mathematisch aufschreiben soll.

Answer 1

wenn du noch nichts über Dimension etc. hattest, musst es allgemein

rechnen. also allgemein einen Vektor (a;b;c) nehmen und den in

der Form (a;b;c) = x*(1,1,2) +y*(-1,1,1)+z*(0,3,L)dartsellen

und schauen, ob sich das nach x,y,z auflösen lässt.

Das ist aber sehr viel Geschäft.

Wenn du Dimension schon kennst, weisst du sicher

dim ( IR^3 ) = 3 und es sind 3 Stück.

Also sind sie ein Erz.syst. genau dann, wenn sie

lin.unabh.  sind.

Das prüfst du leicht mit einer Determinante oder

mit  (0;0;0) = x*(1,1,2) +y*(-1,1,1)+z*(0,3,L)

hat die einzige Lösung x=y=z=0.

geht außer L=4,5 immer.

Comments

Danke für die Antworten, hat mir recht weitergeholfen.

Answer 2

Was ist L in v3?

Es genügt, wenn du die Basisvektoren (1,0,0), ((0,1,0) und (0,0,1) als Linearkombination von v1,v2 und v3 ausdrücken kannst.

Wenn du die Determinante schon kennst, kannst du auch prüfen, ob die Determinante der Matrix mit v1, v2 und v3 in den Spalten UNGLEICH Null ist.