Das Problem ist nicht geschlossen lösbar, das heißt, es gibt keine Formel, mit der du das direkt ausrechnen kannst.
Eine Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist den Term in eine bestimmende Gleichung F(n) = 0 umzuformen und das Newton-Verfahren anzuwenden.
Das ist natürlich nicht sonderlich schwer, der Term lautet:
$$ F ( n ) = B _ { 0 } \frac { r _ { b } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { b - 1 } } - H _ { 0 } \frac { r _ { h } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { r _ { c } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { c } - 1 } - S = 0 $$
Nach dem Newtonverfahren lässt sich die Nullstelle in n jetzt gemäß der folgenden rekursiven Formel ermitteln:
Sei ni eine Schätzung für eine Nullstelle, dann ist
$$ n _ { i + 1 } = n _ { i } - \frac { F \left( n _ { i } \right) } { F \left( n _ { i } \right) } $$
eine bessere Schätzung. Wenn du also irgendeinen Startwert n0 hast, kannst du so Schritt für Schritt bessere Annäherungen für die richtige Lösung ermitteln.
Zunächst brauchst du aber noch die Ableitung von F(n):
$$ F ( n ) = B _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { b } \right) r _ { b } ^ { n + 1 } } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { h } \right) r _ { h } ^ { n + 1 } } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { c } \right) r _ { c } ^ { n + 1 } } { r _ { c } - 1 } $$
Die Iterationsformel lautet damit:
$$ n_{i+1} = n_i - \frac{B _ { 0 } \frac { r _ { b } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { r _ { h } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { r _ { c } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { c } - 1 } - S } { B _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { b } \right) r _ { b } ^ { n + 1 } } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { h } \right) r _ { h } ^ { n + 1 } } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { c } \right) r _ { c } ^ { n _ { i } + 1 } } { r _ { c } - 1 } } $$
Das von Hand auszurechnen wäre jetzt ziemlich kompliziert, allerdings kann man sie natürlich einfach programmieren und ihr einen Startwert geben (z.B. die 13,5 Jahre, die vorher die Lösung waren) und damit die Lösung ermitteln.
Die Lösung lautet dann:
n ≈ 14.8031 Jahre
Setzt man die Zahl ein, so erhält man mit den gegebenen Zahlenwerten in etwa eine Genauigkeit von 6*10-3, das heißt, der Term ergibt etwa 22000.006€, das sollte an Genauigkeit ausreichen :-)
Nebenbei, ich hab das natürlich nicht programmiert, sondern wolframalpha die Arbeit übernehmen lassen. Es ist aber natürlich sinnvoll, wenn man auch den Weg kennt, auf dem man das Ergebnis erreicht.
