Bestimmen der Konvergenz von Folgen

Question

Die Folgen sind auf Konvergenz zu überprüfen und der Grenzwert soll bestimmt werden:

$$ { x }_{ n }={ (1-\frac { 2 }{ n² } ) }^{ n } $$

$$ { y }_{ n }={ (1+\frac { 2 }{ n² } ) }^{ n² } $$

$$ { z }_{ n }={ (1+\frac { 2 }{ n } ) }^{ n² } $$

Ich weiß dass es wohl mit Definition der Eulerschen Zahl zu tun hat, da e^x  der Grenzwert von $$ { (1+\frac { x }{ n } ) }^{ n } $$ ist, aber weiß nicht wie ich das auf die oben angeführten Beispiele umlegen kann.

Comments

Wenn \((1+x/n)^n\to e^x\), dann auch \((1+x/n^2)^{n^2}\to e^x\) (Teilfolge).

Answer 1

\(y_n\rightarrow e^2\) für \(n \rightarrow \infty\) ist in einem Kommentar bereits gezeigt worden.

\(x_n=(1+\frac{\sqrt{2}}{n})^n(1+\frac{-\sqrt{2}}{n})^n\rightarrow e^{\sqrt{2}}\cdot e^{-\sqrt{2}}=1\)

Gemäß der Bernoullischen Ungleichung erhalten wir

\(z_n\geq 1+n^2\cdot \frac{2}{n}=1+2n\rightarrow \infty\).