Frage zu zwei Anordnungsaxiomen:

Question

(a) 0 < x < y => y^-1 < x^-1
(b) Sei x, y > 0, dann gilt x < y <=> x² < y²

Bewiesen habe ich beide Aussagen schon. Jetzt gibt es noch die Frage
"Gilt a) und b) auch im Fall x < 0?"

Meine Überlegungen:

(a) Wenn x < 0, dann ist x eine negative Zahl.
Da 0 < y ist, ist y stets eine positive Zahl.
Daher stimmt die Behauptung y^-1 < x^-1 nicht.

(b) Sei x < 0 und y > 0. Dann folgt daraus, dass x negativ ist und y positiv ist.
Dann folgt daraus x < 0 < y. Jedoch ist das Quadrat einer negativen Zahl
eine positive Zahl. Wäre x = -3 und y = 1, dann würde daraus
folgen 9 < 1, was falsch ist.

Reicht diese Begründung? Wenn nein, wie kann ich dies formal notieren?

Florian T. S.

Comments

Ihr habt doch bestimmt das folgende schon besprochen:

Für \(c > 0 \) folgt aus \(x<y\), dass \(xc<yc\).

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Abend Yakyu :-)

Ja haben wir bereits schon.

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Aufgabe b) *Wink mit dem Zaunpfahl*

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Dankeschön Yakyu :-)

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Ach du hattest das schon gezeigt, hab nicht alles durchgelesen sorry. *Zaunpfahl auf den Kopf*

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Hahahaha :-D

Answer 1

Wenn das für reelle Zahlen zu zeigen ist

und du meinst sicher

(a) Wenn x < 0, dann ist x^-1 eine negative Zahl.

dann reicht es wohl.

Wenn es ganz allgemein um einen angeordneten Körper

geht, musst du es auf die dafür geltenden Axiome stützen.

Comments

(K, >) ist ein angeordneter Körper und x, y, u, v Element von K.

Mhmmm wie könnte ich das für b) zeigen? Dann hätte ich einen Anhaltspunkt.

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Andererseits kann man ja falsche Aussagen durch Gegenbeispiele

widerlegen. Wenn du sagst  ( IR , > ) ist ein angeordneter Körper

und dort gilt ( wie du anfangs zeigtest) die Aussage

nicht, dann gilt sie zumindest nicht in jedem angeordneten

Körper.

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Also wäre dies dann für (K, >) widerlegt nehme ich an?
Da es ja keine Rolle spielt, welcher Körper (Theoretisch
könnte ich dies auch für Z zeigen, also die ganzen Zahlen).

Gruß

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Z ist allerdings kein Körper, da musst du schon mindestens Q

aufbieten.