Relationen untersuchen auf Transitivität, Symmetrie und Reflexivität

Question

Untersuchen Sie die folgende Relation auf der Menge M=Z auf Reflexivität, Transitivität und Symmetrie:

a steht in Relation zu b genau dann, wenn a² - b² ganzzahliges Vielfaches von 7 ist.

Answer 1

a steht in Relation zu b genau dann, wenn a² - b² ganzzahliges Vielfaches von 7 ist. 

reflexiv :  Für alle x aus Z gilt     x R x. Das stimmt, da x^2 - x^2 = 0 und 0 ein Vielfaches von 7 ist.

Symmetrie:

wenn x R y gilt, dann auch  y R x :       x^2 - y^2 Vielfaches von 7,   etwa = k*7 dann auch

y ^2 - x^2  Vielfaches von 7 nämlich - k * 7

Transitiv:

x R y und y R z dann  x R z : 

Sei     x  R y  und    y  R z   dann

x^2 - y^2 = k*7          und   y^2 - z^2 =  n*7

also   y^2 = z^2  + n*7

in die erste Gleichung eingesetzt gibt

x^2 - ( z^2 + n*7 ) = k*7
x^2 - z^2 =  (k+n) * 7  also   x R z .