Bestimme alle Punkte auf der x1 Achse, die von E: 2x+ 2y- z= 6 und F: 6x+ 9y+ 2z= - 22 gleichen Abstand haben

Question

die Aufgabe lautet :

Bestimmen Sie alle Punkte auf der x₁ Achse, die von den Ebenen E: 2x₁+ 2x₂- x₃= 6 und F : 6x₁+ 9x₂+ 2x₃= - 22

den gleichen Abstand haben.

Kann mir da einer helfen ? Es ist keine HA sondern eine Übung für mich selber.

 

Answer 1

 

Mit x,y,z ist es etwas einfacher lesbar.

Bestimme alle Punkte auf der x1 Achse, die von E: 2x+ 2y- z= 6 und F: 6x+ 9y+ 2z= - 22 gleichen Abstand haben.

Nur mal zum Weg.

Bestimme von beiden Ebenen die Hessesche Normalform und setze die beiden ein Mal gleich, danach noch eine = MINUS die andere. Danach kannst du in beiden Gleichungen y und z Null einsetzen und das zugehörige x berechnen.

So bekommst du die gesuchten 2 Punkte auf der x-Achse.

HNF: (Ax + By + Cz + D) / √(A^2 + B^2 + C^2) = 0

Abstand  d(P1, E) =   |  (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / √(A^2 + B^2 + C^2) | 

Rechnung gemäss Beschreibung

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z + 22)/√(36 + 81 + 4)

(2x + 2y - z - 6) / 3 = ±(6x + 9y + 2z + 22)/ 11      |*33

11 (2x + 2y - z - 6)  = ±3 (6x + 9y + 2z + 22)

Punkt auf x-Achse: y=z=0

11 (2x  - 6)  = ±3 (6x  + 22)

22x - 66 = ±(18x + 66)

Fall +

22x - 66 = 18x + 66

4x=132

x=33

Fall -

22x - 66 = -18x - 66

40x=0

x=0

Die beiden Punkte sind P(33|0|0) und Q(0|0|0).

Comments

Das werde ich dann mal morgen machen und dir es dann hier schreiben. Kannst du dann bitte danach schauen ob ich es richtig gemacht habe?

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Vermutlich komm ich erst relativ spät oder am Sonntag dazu deine Rechnung anzuschauen. Stell sie einfach schon mal rein.

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Also ich denke der Fehler liegt bei Deiner Rechnung. Und zwar hast Du

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z - 22)/√(36 + 81 + 4) gesetzt. Es müsste aber

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z + 22)/√(36 + 81 + 4) heißen, wenn Du das mal mit den Ebenen Gleichungen vergleichst

E: 2x+ 2y- z= + 6 und F: 6x+ 9y+ 2z= - 22

... oder seh ich da was falsch? Zumindest sollten es unterschiedliche Vorzeichen sein.

 

lg JR

Answer 2

Ich verwende folgende Gleichung für die Bestimmung des Abstands des Punktes von der Ebene:
(Herleitung siehe: http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-ebene-formel.html  )

d(P,E) = |n·p -k| / |n| = |a*p₁ +b*p₂ +c*p₃ -k| / sqrt(a^2 +b^2 +c^2)

a*x +b*y +c*z = k; //Ebenengleichung
n = (a; b; c);          //Normalenvektor der Ebene
p = (p₁; p₂ ; p₃);     //Vektor auf Punkt

Ebenengleichungen:
E: 2x₁+ 2x₂- x₃= 6;
F: 6x₁+ 9x₂+ 2x₃= - 22;

Für einen Punkt auf der x1-Achse gilt:
p = s*(1; 0; 0);
 

Mit den Vorbetrachtungen:

|2*s +2*0 -1*0 -6| / sqrt(4 +4 +2) = d_E;
|2/3*s -2| = d_E; (s. Skizze)

|6*s +9*0 +2*0 +22| / sqrt(36 +81 +4) = d_F;
|6/11*s +2| = d_F; (s. Skizze)

Jetzt müsste man eigentlich 4 Fälle betrachten (bin mir da aber nicht ganz sicher). Ich habe das mal grafisch gelöst. Man erhält 2 Schnittpunkte:

 

Es gibt also zwei Lösungen für s:

s1 = 0;
s2 = 33;

 

Die gesuchten Punkte auf der x1-Achse sind also:

P₁ (0 | 0 | 0);
P₂ (33 | 0 | 0);

 

Bei Fragen, Fehlern, Anmerkungen --> Kommentar.

 

lg JR

Comments

Die 33 stimmt jetzt mit meiner inzwischen nachgetragenen Rechnung überein. Danke.

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Bitte sehr. Der Fehler hätte genauso gut in meiner Rechnung liegen können.