Surjektiv beweisen, zwei Funktionen. Bsp. f:[-1,1] -> [-5,0], x --> 5x^2 - 5

Question

hallo

ich habe mir die Funktionsgraphen dieser Funktionen angesehen und festgestellt, dass sie surjektiv sein müssen.

die erste sieht aus wie eine umgekehrte Parabel ("bisschen" schmaler).

und die zweite bildet mit der x-Achse einen Dreieck.

Es war also leicht zu erkennen, dass die nicht injektiv sein können.

Reicht es für die Surjektivität, wenn ich einfach die Umkehrfunktion angebe,

also ein y ∈ [0,1] finden so dass f(y)= x gilt.

danke für jede Antwort.

Answer 1

nein das geht nicht, denn

1. Reicht ein Bespiel für die Allgemeinheit nie aus!

2. Ist [0,1] dein Def. Bereich und nicht dein Wertebereich.

3. Wenn du schon weißt dass die Funktionen nicht injektiv sind, solltest du dich von einer Umkehrfunktion distanzieren.

Um zu zeigen, dass die Funktion surjektiv ist, musst du bei der 1. Funktion zeigen, dass es zu jedem \(y \in [-5,0] \) ein \(x \in [-1,1]\) gibt so dass \(f(x) = y\).

Die zweite Funktion ist offensichtlich nicht surjektiv.

Gruß

Comments

also.

Sei y in [ -5;0] und $$x= \sqrt { \frac { y+5 }{ 5 } } $$ Dann gilt f(x) = y.

so richitg?

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Ja, aber du solltest noch angeben, dass \(x\) auch tatsächlich in deinem Def. Bereich liegt.

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reicht es, wenn ich einfach den Def.Bereich dazuschreibe?

wie gebe ich sowas an?

Answer 2

Das zweite f ist nicht surjektiv. Zum Beispiel ist 2 nicht im Bild von f,

> einfach die Umkehrfunktion angebe, also ein y ∈ [0,1] finden so dass f(y)= x gilt.

1. Es reicht wenn du zu jedem y ein x mit f(x) = y angibst.

2. Bitte verwende das Wort Umkehrfunktion in dieser Beziehung nicht. Keine der angegebenen Funktionen besitzt eine Umkehrfunktion. Was du meinst ist, dass das Urbild von {y} (also die Menge aller x mit f(x)=y) nicht leer ist.

Comments

also.

Sei y in [ -5;0] und $$x= \sqrt { \frac { y+5 }{ 5 } } $$ Dann gilt f(x) = y.

so richitg?

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Sieht gut aus.

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würde es also so reichen?

ich würde wahrscheinlich noch (damit es etwas ausführlicher wirkt), x einsetzen und ausrechnen.. da würde natürlich y herauskommen, aber die Aufgabe wäre somit gelöst, oder?

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Du solltest noch begründen, warum \( y \in [-5, 0] \implies \sqrt { \frac { y+5 }{ 5 } } \in [-1, 1] \) gilt.

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wie begründe ich das?

kann ich einfach die Intervallgrenzen -5 und 0 in die Wurzelgleichung einsetzen? da würde jeweils 0 und 1 herauskommen.

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Wenn \( \sqrt { \frac { y+5 }{ 5 } } \) im Intervall [-5, 0] monoton ist, dann reicht es, die Intervallgrenzen einzusetzen.