Bestimmung Grenzwerte e^x

Question

Aufgabe:

2. (Bestimmung des Grenzwertes)

Berechnen Sie die Grenzwerte

c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{2 n} \)

d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß ja, dass lim  (1+(x/n))^n   = e^x ist. Kann damit aber noch nicht so richtig was anfangen. Also ist relativ neu für mich. Heißt das dann, dass wenn ich bei d) beispielsweis das anwede, dass die Lösung dann  e^n ist oder wie? Weil wenn ich das mal zusammenfasse, dann habe ich doch im Zähler n und im Nenner -n zu stehen. Oder ist das etwas zu einfach gedacht bzw. falsch gedacht?

Bei c) weiß ich aber auch nicht so recht weiter, wie ich da rangehen soll.  Ich kenne es seit gestern so, anhand eines Beispiels, dass ich die 2n oben aufteilen muss, also das ich einmal (...)² habe und einmal (....)^n, aber wie mache ich das?  Sag ich da einfach   (1+1/3n)²  = 1   und ( 1+1/3)^n = e^1 also wäre das Ergebnis  e^1 oder wie?

Comments

Hi, bei c)  hast du doch deine e-Funktion?

$$\left( 1 + \frac{1}{3n} \right)^{2n} = \left [ \left( 1 + \frac{\frac{1}{3}}{n} \right)^n \right ]^2 $$

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Tut mir leid aber das weiß ich halt irgendwie noch nicht ^^ Das haben wir gestern angefangen und auch nur mit einer Beispielsaufgabe gerechnet also nur angekratzt. ^^ ist jetzt halt nur meine Hausaufgabe ^^

Und wie gehe ich da weiter, wenn ich  das jetzt so habe wie du? Muss ich das nicht trennen, dass ich 2 Klammern habe?

Also müsste es dann so aussehen?(  (1 + (1/3 / n) ^n  )   *   (  1 ( 1/3 / n ) )² ? 

Answer 1

Also im Prinzip habe ich bei meiner Umformung ja nichts besonderes gemacht und nur ein Bruch- und ein Potenzgesetz verwendet. Der Grund ist, dass du bei

$$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{3n} \right)^{2n}$$

den Limes ja nicht für den Exponenten und den Ausdruck in der Klammer getrennt betrachten darfst, dafür gibt es keine Regel / kein Gesetz.

Wenn der Exponent jedoch unabhängig von n ist, kannst du den Limes hineinziehen:

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{3n} \right)^{2n} = \left [ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{3n} \right)^{n} \right ]^2 $$

und damit hast du dann die Form, wo du deine e-Funktion-Definition einsetzen kannst.

Comments

Ahhh gut diesen Schritt habe ich verstanden, danke. Jetzt muss ich nur noch die e-Funktion- Definition verstehen ^^ Muss ich wohl noch einige Lernvideos anschauen :D

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Ja, wenn man das dann einmal verstanden hat (was sehr schnell gehen wird), ist das gar nicht so schwer. Also wenn du damit meinst, dass du nicht genau weißt, wie du jetzt fortfährst::

$$\left [ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{3n} \right)^{n} \right ]^2 =\left [ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{\frac{1}{3}}{n} \right)^{n} \right ]^2 = [e^{1/3} ]^2 = e^{2/3} \ .$$

Wenn dir die Umformungen nicht klar sind, schau dir einfach nochmal die Potenzgesetze an, geht ja schnell.

Für die zweite Aufgabe hätte ich eine Lösung, die ist aber etwas komplizierter. Kannst ja schreiben, ob du diese trotzdem möchtest oder erstmal bisschen rumschauen möchtest, was diesen Aufgabentyp angeht. ;)

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Na ich schaue mir gerade schon Lernvideos an. Scheint echt nicht so schwer zu sein, mit der e-Funktion. Finds dennoch schwerer als die normalen Limesaufgaben die ich sonst kenne. :D Aber danke warst mir echt eine mega Hilfe. Das mit der Umformung am Anfang hat mir am meisten geholfen das zu verstehen

Werde gleich mal die 2 probieren ^^

Answer 2

hab mal Aufgabe a gerechnet:

Comments

Ohhh Gott du rechnest die ganze Aufgabe für mich. Jetzt schäme ich mich richtig, dass du dir extra die Mühe gemacht hast ^^

Am liebsten würde ich dir dafür Trinkgeld geben ^^ Jetzt schaue ich mir das genau an und probiers zu verstehen :D

Aber diesen Begriff mit "L´ Hospital" habe ich noch nie gesehen ^^

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Du brauchst Dich nicht schämen und ich nehme auch kein Trinkgeld.

Wir machen das hier alle freiwillig und mit Freude.

:-)