Wie berechnet man die Erlösfunktion, Erlösmaximum, Gewinnfunktion,....? Nachfrage: p(x)= -0,25x+4

Question

Aufgabe:

Ein Angebotsmonopolist geht von folgenden Angaben über seine Kosten und Preissituation aus:

Die Nachfrage, der er gegenübersteht, lässt sich durch eine lineare Funktion mit der Gleichung p(x)=-0,25x+4 beschreiben.
Bei der Produktion machen die fixen Kosten 7,50 € aus.
Die Gesamtkostenfunktion lässt sich durch eine Gerade mit dem Anstieg 0,75 darstellen.

a) Wie heißt die Erlösfunktion? Wo liegt das Erlösmaximum? Welcher Preis wird dort erzielt?
b) Wie heißt die Gewinnfunktion? Wo liegen die Grenzen der Gewinnzone? Wie groß ist der Gewinn im Erlösmaximum?
c) Zeichnen Sie die Graphen der Nachfragefunktion, der Kostenfunktion und der Erlösfunktion
in einem Koordinatensystem. Stellen Sie dort auch die Gewinnfunktion grafisch dar.

Answer 1

Anmerkung: Die Nachfrage, der er gegenübersteht, lässt sich durch eine lineare Funktion mit der Gleichung p(x)=-0,25x+4 beschreiben.

Wir haben die Funktion p(x) immer Preisfunktion genannt, weil sie den Preis in Abhängigkeit zur Absatzmenge angibt.

 

a) Wie heißt die Erlösfunktion? Wo liegt das Erlösmaximum? Welcher Preis wird dort erzielt?

E(x) = x * p(x) = x * (-0.25x + 4) = -0.25x^2 + 4x

Nullstellen sind hier bei 0 und 16. Das Erlösmaximum ist zwischen den Nullstellen bei 8.

p(8) = 2

 

b) Wie heißt die Gewinnfunktion? Wo liegen die Grenzen der Gewinnzone? Wie groß ist der Gewinn im Erlösmaximum?

K(x) = 0.75x + 7.5

G(x) = E(x) - K(x) = -0.25x^2 + 4x - (0.75x + 7.5) = -0.25x^2 + 3.25x - 7.5

G(x) = 0
x = 3 und x = 10

G(8) = 2.5

c) Zeichnen Sie die Graphen der Nachfragefunktion, der Kostenfunktion und der Erlösfunktion

Answer 2

"Die Gesamtkostenfunktion lässt sich durch eine Gerade mit dem Anstieg 0,75 darstellen." bedeutet, dass die variablen Stückkosten 0,75 € betragen. Die variablen Gesamtkosten betragen also 0,75*x €.

"Bei der Produktion machen die fixen Kosten 7,50 € aus." Die Gesamtkosten setzen sich aus variablen und fixen Kosten zusammen. Die Gesamtkostenfunktion lautet also K(x) = 0,75*x + 7,50.

"Die Nachfrage, der er gegenübersteht, lässt sich durch eine lineare Funktion mit der Gleichung p(x) = -0,25*x+4   beschreiben. (...)  a) Wie heißt die Erlösfunktion? Wo liegt das Erlösmaximum? Welcher Preis wird dort erzielt?" Die abgesetzte Menge entspricht der produzierten Menge x. Der Erlös berechnet sich als Menge mal Preis, also lautet die Erlösfunktion E(x) = x*p(x) = x*(-0,25*x+4) = ... Um die Produktionsmenge zum Erlösmaximum zu bestimmen, kann man nun Lage und Art der Nullstellen der ersten Ableitung der Erlösfunktion ermitteln. Alternativ dazu lässt sich die Hochstelle auch als Scheitelstelle durch quadratische Ergänzung der (quadratischen) Erlösfunktion bestimmen. Die so oder so gefundene Produktionsmenge des größten Erlöses muss dann noch in die Nachfragefunktion p(x) eingesetzt werden, um den Preis zu ermitteln.

"b) Wie heißt die Gewinnfunktion? Wo liegen die Grenzen der Gewinnzone? Wie groß ist der Gewinn im Erlösmaximum?" Gewinn ist Erlös minus Kosten, also ist G(x) = E(x)-K(x) = ... Die Grenzen der Gewinnzone sind hier die beiden Nullstellen der (quadratischen) Gewinnfunktion. Innerhalb dieser Grenzen wird mit Gewinn produziert. Wird die in a) bestimmte Produktionsmenge des größten Erlöses in G(x) eingesetzt, so ergibt sich der Gewinn im Erlösmaximum.

"c) Zeichnen Sie die Graphen der Nachfragefunktion (Gerade durch (0 | 4) und (4 | 0)), der Kostenfunktion (Gerade durch (0 | 7,5) und (10 | 15)) und der Erlösfunktion (nach unten offene Parabel mit Nullstellen 0 und 16 und Scheitel (8 | 16)) in einem Koordinatensystem. Stellen Sie dort auch die Gewinnfunktion (ebenfalls eine nach unten offene Parabel) grafisch dar."

 

 

Comments

was macht man den eigentlich wenn p(x) nicht gegeben ist ?