Beweisen: Lineare Abhängigkeit / Erzeugendensystem

Question

Seien l, m, n ∈ N und v1,..., vl ∈ K^m, w1,..., wl ∈ K^n. Für i = 1,..., l bilden wir aus vi und wi den den Vektor ui ∈ K^m+n, der zuerst die Einträge von vi, dann die von wi enthält. Seien S := {v1,..., vl} ⊂ K^m und T := {u1,..., ul} ⊂ K^m+n. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist S linear unabhängig, so ist T linear unabhängig.

(b) Ist S linear abhängig, so ist T linear abhängig.

(c) Ist S ein Erzeugendensystem von K^m, so ist T ein Erzeugendensystem von K^m+n.

(d) Ist S kein Erzeugendensystem von K^m, so ist T kein Erzeugendensystem von K^m+n

Für a habe ich folgendes :

a1*v1+...an*vn=0 => a*u1+...a*un=0          a=0

u ist linearkombination aus v und w
ausserdem verstehe ich nicht was mit zuerst die Einträge von vi dann die von wi enthält gemeint sein soll
Hoffe ihr könnt mir einen Anstoss geben 
Gruß

Comments

Bitte Exponenten kontrollieren:

" ui ∈ K^m+n, "

Meinst du

u_i ∈ K^m+n?

Benutze Klammern oder die Symbole x^2 und x_(2) über dem Eingabefeld. 

---

ich meine u_i ∈ K^m+n

habe ich gar nicht gesehen, sorry ..

Answer 1

Ein Tipp:

Die Elemente u_i des Vektorraums K^m+n bestehen aus den Elemente v₁,....,v_l  und den Elementen w₁,...,w_{l .}

Das heißt, dass du deinen Vektor u_i  auch als den Vektor (v_i , w_i) umschreiben kannst. (Hierin lieht auch der Sinn der Anmerkung, dass u_i  zuerst die Elemente aus v und dann die Elemente aus w enthält.

Der Rest deiner Aufgabe ergibt sich aus den Definitionen bzw. kannst du bei b) und c)  die Behauptung auch ganz einfach durch ein Gegenbeispiel widerlegen.

Comments

hey also wenn S lin. unabh. ist dann gilt ja a1*v1+...an*vn=0 --> 0*v_1*w_1+,...,+0*v_n*w_n=0
aber damit ist das doch noch nicht gezeigt oder? kannst du vielleicht wenigstens für den 1. Teil zeigen man das konkret löst bzw. so etwas formal korrekt aufschreibt ?
Danke und schönen Abend noch