Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ ℕ0 gilt:

Question

Die Zahlen x_n, n ∈ ℕ₀, seien induktiv definiert durch

x₀ = 0

für jedes n ∈ ℕ₊ : x_n = n - x_n-1.

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ ℕ₀ gilt:

x_n = n/2       falls n gerade

x_n = n+1/2   falls n ungerade

Das habe ich für die Zahlenwerte x₁, x₂, x₃, x_{4 raus bekommen:}

x₁ = 1    x₂ = 1   x₃ = 2   x₄ = 2

So habe ich mit dem Induktionsbeweis begonnen:

x_n = n/2       falls n gerade

Indunktionsanfang:

Für n = 2 gilt x₂ = 2/2 = 1, also wahr.

InduktionsVoraussetzung:

Hier komm ich nicht weiter. Wie beweise ich, dass es für alle weiteren geraden Zahlen auch so gilt?

Answer 1

Wie man leicht nachrechnet ist die Behauptung äquivalent zu$$x_n=\tfrac14\big(2n+1-(-1)^n\big).$$Der Induktionsschritt könnte dann in etwa so aussehen:$$x_{n+1}=(n+1)-x_n$$$$\qquad=(n+1)-\tfrac14\big(2n+1-(-1)^n\big)$$$$\qquad=\tfrac14\big(2(n+1)+1-(-1)^{n+1}\big).$$