Vollständige Induktion: Σ k*2^{k-1} Summenformel aufstellen und beweisen.

Question

Σ k*2^{k-1} 

Ermitteln Sie die Formel für die Summe $$\sum _{ k=2 }^{ n }{ k*{ 2 }^{ k-1 } } $$ und beweisen Sie deren Richtigkeit mittels vollständiger Induktion.

Answer 1

Ich vermute mal (n-1)*2^n 

Ind.anf. n=2   Summe gibt 2*2^2-1 = 2*2 = 4

Formel gibt    (2-1)*2^2 = 1*4 = 4

wenn es für n gilt, dann ist Summe bis n+1

=  summe bis n    +     (n+1)*2^n

=   (n-1)*2^n    +     (n+1)*2^n

=  n*2^n  -  2^n   +  n*2^n  +  2^n

= n*2^n     +  n*2^n

= n* ( 2^n + 2^n )

= n* (2 * 2^n )

= n * 2ⁿ⁺¹   und da sagt die Formel für n+1 auch.   q.e.d.

Comments

Kannst du mir kurz erklären wie du auf die Formel gekommen bist?

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Ich habe einfach mal die ersten 5 oder 6 ausgerechnet und dann etwas

rumprobiert, Vergleich mit den 2er Potenzen und so, bis es ins

Auge fiel.

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Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung?

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Ind. vor.:  Σ k*2^{k-1}  summe von 2 bis n ist  (n-1)*2ⁿ 

Ind. beh.:  Σ k*2^{k-1}  summe von 2 bis n+1 ist  n*2ⁿ⁺¹

Answer 2

\( \sum_{k=0} ^n x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\) die bekannte geometrische Summenformel.

Man leite beide Seiten ab:

\( \sum_{k=0} ^n k\cdot x^{k-1} = \frac{(n+1)x^n(x-1) -(x^{n+1}\cdot 1) \cdot 1}{(x-1)^2}\) 

und setzt x=2:

\( \sum_{k=0} ^n k\cdot 2^{k-1} = \frac{(n+1)2^n (2-1) -2^{n+1} +1 } {(2-1)^2} =2^n (n-1) +1 \)