Zeigen, dass spezielle Determinante den Wert n+1 hat

Question

Wie geht man an folgende Aufgabe heran:

Zeigen Sie, dass eine Determinante n-ter Ordnung, bei der auf der Jauptdiagonalen überall 2 und außerhalb der Hauptdiagonalen überall 1 steht, den Wert n+1 hat.

Comments

Schon mit vollst. Induktion versucht?

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Nein, aber da das im Unterricht noch nicht besprochen wurde und ich auch noch nicht weiß, wie es genau funktioniert. Ist das die einzige Art einer Lösung oder gibt es noch etwas anderes? Ansosnten werde ich mich da erst einlesen müssen.

Answer 1

Die Determinante ist wohl am leichtesten zu bestimmen, indem man die Matrix auf Stufenform bringt. Dabei ziehst du die 1/2-fache erste Zeile von allen darunterliegenden Zeilen ab, danach die 1/3-fache zweite Zeile von allen darunterliegenden (weil dann in der zweiten Spalte 1, 3/2,1/2, ..., 1/2 steht), ... . Die i-te Zeile musst du dabei immer mit dem Faktor 1/(i+1) multiplizieren, um in allen darunterliegenden Zeilen Nullen zu erhalten. Die entstehende Matrix hat die Form:

$$ \begin{pmatrix} 2&1&1&...&1\\ 1&2&1&...&1\\ 1&1&2&...&1\\ ...&...&...&...&...\\ 1&1&1&...&2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2&1&1&1&...&1\\ 0&\frac32&\frac12&\frac12&...&\frac12\\ 0&\frac12&\frac32&\frac12&...&\frac12\\ ...&...&...&...\\ 0&\frac12&\frac12&\frac12&...&\frac32 \end{pmatrix}\rightarrow ...\rightarrow \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 2&1&1&1&...&1\\ 0&\frac32&\frac12&\frac12&...&\frac12\\ 0&0&\frac43&\frac13&...&\frac13\\ ...&...&...&...\\ 0&0&0&0&...&\frac{n+1}n \end{pmatrix} $$

Die Determinante ist dann das Produkt der Einträge der Hauptdiagonale, also

$$ 2\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot...\cdot\frac{n+1}n. $$

Es kürzt sich also alles bis auf das letzte n+1.