Überprüfe ob U ein Untervektorraum von V ist

Question

ich soll überprüfen, ob die Menge U = {f ∈ V : f(x) = f(-x)   ∀x ∈ ℝ} ein Untervektorraum der Menge V = {f: ℝ→ℝ} ist.

Generell ist mir die Vorgehensweise bekannt, überprüfen ob U nicht leer ist, Abgeschlossenheit der Addition und Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation zeigen. Nur für Funktionen ist mir die Vorgehensweise ein Rätsel.

Ich könnte es zwar anhand von einzelnen Funktionen zeigen (wenn ich nicht falsch liege müsste das die Menge aller Funktionen der Form f(x) = xⁿ , wobei n eine gerade natürliche Zahl, und f(x) = |x| sein) mit beispielsweise x²+x⁴ ergibt dasselbe für x= 5 und x= -5, aber man soll es ja im Allgemeinen zeigen.

Ich habe im Internet nach Beispielen für die Überprüfung auf Untervektorräumen für Funktionen gesucht, wurde aber leider nicht so richtig fündig.

Würde mich über eine kurze Erklärung oder einem Link zu einer Erklärung freuen.

Beste Grüße!

Answer 1

Beispiel Addition: Seien f,g ∈ U.

Laut Definition der Addition in V ist (f+g)(x) = f(x) + g(x) für jedes x∈ℝ

Da f,g ∈ U sind gilt f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) für jedes x∈ℝ.

Laut Definition der Addition in V ist f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x) für jedes x∈ℝ.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Wäre es formal richtig wenn ich an Hand der Definitionen dann argumentieren würde, dass die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt ist weil

f, g ∈ U

f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x)

(f+g) (x) = (f+g) (-x)

Und für die Skalarmultiplikation selbiges nur mit

λ ∈ ℝ

λ * f(x) = λ * f(-x) 

(λ * f)(x) = (λ * f)(-x)

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Kann man so durchgehen lassen, auch wenn ich mir in Beweisen oft mehr erläuternden Text wünsche, anstatt eine Aneinanderreihung von Aussagen.