Rekursiv definierte Folge-Wohldefiniert,Konvergenz

Question

Hallo:)

Ich habe folgende rekursiv definierte Folge:  a₀ = 1 und a_n+1 = (q*a_n)/(K+a_n)

Ich soll nun zeigen dass 1) die Folge wohldefiniert ist für a_n > 0. Das ist aber doch eigentlich ziemlich offensichtlich, da der Bruch nicht 0 werden darf. Ich weiß nicht, was ich da groß beweisen kann.

2) Beweisen dass die sie konvergiert und dann den Grenzwert angeben.

Dafür müsste ich ja zeigen dass 0 < a_n ≤ q (also die Folge beschränkt) und beide Möglichkeiten der Monotonie durchgehen. Allerdings komme ich da Beweistechnisch noch nicht hinter..

und wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge..?

Answer 1

Hi,
durch suksessives einsetzten und durch Vollständige Induktion kann man zeigen, dass gilt
$$(1) \quad a_{n+1} = \frac{a_0}{ \left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} + \frac{a_0}{q} \sum_{j=0}^N \left(\frac{K}{q}\right)^{j} }$$ und das ist gleich zu (geometrische Reihe)
$$(2) \quad a_{n+1} = \frac{a_0}{ \left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} + \frac{a_0}{q} \frac{\left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} - 1}{\frac{K}{q} - 1} }$$ falls $\left| \frac{K}{q} \right| < 1$ damit konvergiert (2) gegen $q - K$

Für $\left| \frac{K}{q} \right| \ge 1$ konvergiert (1) gegen $0$

Die Grenzwerte kann man auch aus folgender Überlegung gewinnen. Wenn der Grenzwert existiert gilt $a_{n+1}$ und $a_n$ konvergieren gegen den gleichen Grenzwert $x$. damit ergibt aich aus der Definition der rekursiven Folge die Gleichung $x = \frac{qx}{K+x}$ mit den Lösungen $x = 0$ und $x = q - K$