Gruppenhomomorphismus (Z/nZ, +) -> (Z/mZ, +)

Question

Es seien n, m ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass es genau dann einen injektiven Gruppenhomomorphismus ℤ/n → ℤ/mℤ

gibt, wenn n ein Teiler von m ist. Die Verknüpfung ist "+"

Comments

http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Lineare_Algebra/Uebung_06.pdf

Da gibt es die Lösung für eine Richtung komplett es ist die Aufgabe 1 und unten befinden sich die Lösungen.

Uebung_06.pdf (89 kb)

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PS: die LA Großübung kann man in meinen Augen in die Tonne treten

Answer 1

warum unpräzise? Die Fragestellung ist eindeutig.

Für die Richtung "$\Leftarrow$" reicht es einen solchen injektiven Gruppenhomom. anzugeben.

Für die Richtung "$\Rightarrow$": Sei $\varphi$ ein solcher inj. Gruppenhomom.

Überlegt euch:

1) Für $a \in \mathbb{Z}_n$ was ist $\varphi(ma) =$?

2) Was bedeutet dass für $ma \in \mathbb{Z}_n$? (Injektivität ausnutzen).

Was bedeutet dies also für $m$ und $n$? Handelt es sich bei dieser Folgerung vielleicht sogar um eine Äquivalenz? (Dann kann man sich das Nachdenken über die Rückrichtung sparen).

Gruß

Comments

diese Fragenstellung ist auch eindeutig. Ist halt nicht immer der Fall...und danke für die Antwort

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"Was bedeutet dass für". Bei ihrem verwendetem "dass" handelt es sich eindeutig "!" um ein rückbezügliches  Fürwort. Daher schreibt man es "das". . Wusste doch, dass ich hier als Germanistikstudent nicht verkehrt bin.

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Danke für die Aufklärung. Dadurch wird der Inhalt meiner Antwort natürlich viel deutlicher. Ich hoffe diese Antwort hat ihnen weitergeholfen und wünsche noch viel Erfolg auf dem steinigen Weg zum Lehrer.

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auf den Link von Gast ie1711 hat man keinen Zugriff mehr, so dass ich den Beweis nicht nachlesen kann.  Ich will jetzt, gemäß Yakyu, Teil 1 der Äquivalenz beweisen:  n ist ein Teiler von m.  => Es gibt einen injektiven Gruppenhomomorphismus Z/nZ -> Z/mZ.
Wir haben zwei Gruppen:
$$Gruppe \quad 1\quad =\quad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+_{n})$$
$$Gruppe \quad 2\quad =\quad (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},+_{m})$$

Ich rechne das am Beispiel durch:
$$Gruppe \quad 1\quad =\quad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+_{2})$$
$$Gruppe \quad 2\quad =\quad (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+_{4})$$
Meine injektive Abbildung ist
$$f([0]_{2}) = [0]_{4}$$
$$f([1]_{2}) = [1]_{4}$$
Damit:
$$f([1]_{2}) +_{4} f([1]_{2}) = f([1]_{2} +_{2} [1]_{2})$$
$$[1]_{4} +_{4} [1]_{4} = f([2]_{2}) = f([0]_{2})$$
$$[2]_{4} = [0]_{4}$$

Was habe ich falsch gemacht?  Ich kann ja wohl nicht gezeigt haben, dass die Behauptung aus der Aufgabe falsch ist.

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Was habe ich falsch gemacht?

Wenn dieses f nicht funktioniert (was es ja offenbar nicht tut), dann versuche es doch mal mit einem anderen.
Anmerkung :  Es ist kein Ringhomomorphismus gesucht.

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Hallo Gast hj2166, danke für den Tipp.  Ich fand a = m/n = 4/2 = 2 und
$$f([0]_{2}) = [2 * 0]_{4} = [0]_{4}$$
$$f([1]_{2}) = [2 * 1]_{4} = [2]_{4}$$
und alles ist gut.

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Hallo Gast hj2166 und Andere, es ist doch nicht alles gut.  Ich wollte Folgendes zeigen:
n ist Teiler von m => Es gibt einen injektiven Homomorphismus von (Z/n, +) nach (Z/m, +).

Zunächst am Beispiel:
n = 2, m = 4, a = m/n = 2
(Z/2, +) nach (Z/4, +)
$$f([0]_{2}) = [a * 0]_{4} = [2 * 0]_{4} = [0]_{4}$$
$$f([1]_{2}) = [a * 1]_{4} = [2 * 1]_{4} = [2]_{4}$$
Das ist eine injektive Abbildung.
Beweis, dass das ein Homomorphismus ist:
$$f([x]_{2}) +_{4} f([y]_{2}) = f([x]_{2} +_{2} [y]_{2})$$     (I)
$$[2x]_{4} +_{4} [2y]_{4} = f([x+y]_{2})$$     (II)
$$[2(x+y)]_{4} = [2(x+y)]_{4}$$     (III)

Dieser Beweis ist aber falsch, denn damit hätte ich für jedes a, z. B. a=1 oder a=7, einen Homomorphismus.  Das stimmt aber nicht, denn für z. B. a = 1, x = 1, y = 1 ist Gleichung (I) falsch.  Was habe ich falsch gemacht?  Wie geht es richtig?

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Der Beweis, dass wir mit a = m/n einen Gruppenhomomorphismus haben, ist mir gelungen:

Sei $a=\frac{m}{n}$. Dann ist in der Tat (so wie pwmeyer es sagt):
$f\left ([x]_{n}\right):=[a \cdot x]_{m}$ der gesuchte Injektive Homomorphismus.

Wo ist denn dein Problem bei der Überprüfung von

1. $f$ ist Injektiv und

2. $f\left([x]_{n}+[y]_{n}\right)=f\left( [x]_{n}\right)+f\left([y]_{n}\right) ?$

Es ist doch ganz klar, dass $[1]_{n}$ die additive Gruppe $Z / n Z$ erzeugt und dieses erzeugende Element muss auf ein erzeugendes Element einer n-elementigen Untergruppe von $Z / m Z$ abgebildet werden. Aber ein solches ist doch $[a]_{m}$, da dessen Vielfache gerade wieder $\mathrm{n}$ verschiedene Elemente von $Z / m Z$ ergeben.

Da es sich um Abbildungen zwischen Restklassengruppen handelt, ist erst einmal sicherzustellen, dass die von dir angegebene Abbildung wohldefiniert ist, d.h. unabhängig vom gewählten Vertreter einer Restklasse immer das gleiche Ergebnis liefert.

Nehmen wir mal dein

$f:\left\{\begin{aligned} Z_{2} & \rightarrow z_{4} \\ [x]_{2} & \mapsto[a \cdot x]_{4} \end{aligned}\right.$

Wenn du jetzt z.B. $a=3$ wählst, dann gibt es Probleme mit $x=1$. Es gilt ja $[1]_{2}=\{\ldots ;-1 ; 1 ; 3 ; \ldots\}$. Andererseits ist $[3]_{4}=\{\ldots ;-1 ; 3 ; 7 ; \ldots\}$

Dann ist aber $3 \cdot 1 \neq 3 \cdot(-1) \bmod 4$

Deshalb ist die Abbildung mit $a=3$ NICHT wohldefiniert. Eine solche Abbildung auf Homomorphismeneigenschaft untersuchen zu wollen, erscheint mir dann nicht mehr sinnvoll.

Es geht also in diesem Umfeld eher um Wohldefnition als um Homomorphismuseigenschaft.